Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo
e o polo das seguintes curvas.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede três coisas:
- determinar as interseções com o eixo polar (linha
); - determinar as interseções com o eixo
(linha vertical no plano polar); - determinar as interseções com o polo (origem,
);
além de decidir as simetrias da curva em relação ao eixo polar, à retae ao polo.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- a função que gera
é ; - valores nulos de
(cruzamentos pelo polo) ocorrem quando .
Passo 2
Rápida revisão do que vamos usar (sem pular etapas):
- Coordenadas polares para um ponto:
. Para uma curva um ponto está na reta se o parâmetro usado for (ou se um valor equivalente com negativo representar o mesmo ponto). - Interseção com o polo: basta resolver
. - Interseção com o eixo
(eixo polar, eixo positivo): geometricamente é a interseção com a reta e . Em termos de pode aparecer como em algum (polo) ou como com tal que o ponto resultante tem e . Para equações polares é prático usar e . - Interseção com a reta
(eixo ): é conveniente checar com (ou então , que volta a ser polo). - Testes de simetria (idéia e por que funcionam):
- Simetria em relação ao eixo polar (
, eixo ): se, para todo , existir o mesmo ponto ao trocar por . Para equações do tipo , um teste simples é verificar se (então a curva é simétrica em relação ao eixo polar). Se , a reflexão gera um negativo e isso não dá a igualdade direta de forma simples. - Simetria em relação à reta
: testar . - Simetria em relação ao polo (origem): se
. Isso porque o ponto com pode representar o mesmo ponto cartesiano que até mudança de sinal de ; a igualdade acima garante essa coincidência para todos os .
- Simetria em relação ao eixo polar (
Vou aplicar essas ideias passo a passo à nossa função
.
Passo 3
Interseções com o polo (origem). Resolver
:
As soluções gerais são
portanto
No intervalo usual
aparecem seis valores distintos:
Cada um desses
dá
, ou seja, a curva passa pelo polo nesses ângulos (ou seja, a origem é ponto da curva para essas direções).
Passo 4
Interseções com o eixo polar (
, eixo
positivo).
Geometricamente queremos pontos da curva cuja abscissa e que fiquem sobre o semieixo positivo. Use
Geometricamente queremos pontos da curva cuja abscissa
Para
precisamos de
ou
. Em ambos os casos, como vimos no Passo 3, quando
então
(polo). Se
então
e também
(polo). Portanto todas as soluções que dão
para a curva resultam em
.
Conclusão: a curva não intersecta o eixo polar em nenhum ponto diferente do polo; as únicas interseções com a reta são as passagens pelo polo (valores listados no Passo 3). Em outras palavras: não há ponto com
e
.
Conclusão: a curva não intersecta o eixo polar em nenhum ponto diferente do polo; as únicas interseções com a reta
Passo 5
Interseções com a reta
(eixo
, eixo vertical).
Procuramos pontos com . Então
Procuramos pontos com
Isto ocorre se
ou
. Novamente
dá
(polo). O caso não-trivial é
, que ocorre para
Calcule
nesses ângulos:
- Para
:
- Para
:
Como
, obtemos
.
Ambos os pares
e
representam o mesmo ponto cartesiano:
Portanto a curva intercepta a reta
em
(ponto não-nulo). Observação: o valor aparece com dois pares polares equivalentes porque permissões de
negativo mudam a representação.
Além desse ponto, a reta
também cruza a curva no polo (quando
for um dos
do Passo 3 que coincida com
mod
— neste caso não há coincidência exata, então o único ponto não-polo é
).
Passo 6
Testes de simetria aplicados a
.
- Simetria em relação ao eixo polar (
). Calculamos
Como
em geral, a condição simples
falha. O fato de
não implica igualdade direta de pontos sem considerar o sinal de
. Portanto a curva NÃO é simétrica em relação ao eixo polar (não há simetria simples
mantendo
igual).
- Simetria em relação à reta
(testar ). Calculamos
Usando
(porque
, e aqui
— mais direto: expandir por identidade dá o mesmo), de fato obtemos
Logo a curva satisfaz
e, portanto, é simétrica em relação à reta
.
(Explicação curta para lembrar: trocando
por
refletimos em torno da reta vertical; como a função fica igual, o reflexo coincide com a curva original.)
- Simetria em relação ao polo (origem). Testar
:
A condição
é exatamente a que garante que, para cada ponto
da curva, existe o correspondente
com
trocado de sinal, representando o mesmo ponto cartesiano — isto mostra que a curva é simétrica em relação ao polo. Assim a curva é simétrica em relação ao polo.
Resumo das simetrias: simétrica em relação à reta
e em relação ao polo; não é simétrica em relação ao eixo polar
.
Resposta
Interseções com o polo:
,
(no intervalo
:
).
Interseção com o eixo polar
: apenas o polo (nenhum outro ponto com
).
Interseção com a reta
: ponto cartesiano
. Em coordenadas polares:
equivalente a
.
Simetrias: simétrica em relação à reta
e em relação ao polo; não é simétrica em relação ao eixo polar
.