Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo \frac{\pi}{2} e o polo das seguintes curvas.
r=2 \operatorname{sen}(3 \theta)

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r=2\sin(3\theta)
e pede três coisas:
  • determinar as interseções com o eixo polar (linha \theta=0);
  • determinar as interseções com o eixo \theta=\frac{\pi}{2} (linha vertical no plano polar);
  • determinar as interseções com o polo (origem, r=0);
    além de decidir as simetrias da curva em relação ao eixo polar, à reta \theta=\frac{\pi}{2} e ao polo.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • a função que gera r é f(\theta)=2\sin(3\theta);
  • valores nulos de r (cruzamentos pelo polo) ocorrem quando \sin(3\theta)=0.

Passo 2

Rápida revisão do que vamos usar (sem pular etapas):
  • Coordenadas polares para um ponto: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Para uma curva r=f(\theta) um ponto está na reta \theta=\theta_0 se o parâmetro \theta usado for \theta_0 (ou se um valor equivalente com r negativo representar o mesmo ponto).
  • Interseção com o polo: basta resolver r=0.
  • Interseção com o eixo \theta=0 (eixo polar, eixo x positivo): geometricamente é a interseção com a reta y=0 e x\ge 0. Em termos de (r,\theta) pode aparecer como r=0 em algum \theta (polo) ou como r\ne0 com \theta tal que o ponto resultante tem y=0 e x\ge0. Para equações polares é prático usar y=r\sin\theta e x=r\cos\theta.
  • Interseção com a reta \theta=\frac{\pi}{2} (eixo y): é conveniente checar x=r\cos\theta=0 com r\ne0 (ou então r=0, que volta a ser polo).
  • Testes de simetria (idéia e por que funcionam):
    • Simetria em relação ao eixo polar ( \theta=0, eixo x): se, para todo \theta, existir o mesmo ponto ao trocar \theta por -\theta. Para equações do tipo r=f(\theta), um teste simples é verificar se f(-\theta)=f(\theta) (então a curva é simétrica em relação ao eixo polar). Se f(-\theta)=-f(\theta), a reflexão gera um r negativo e isso não dá a igualdade direta de forma simples.
    • Simetria em relação à reta \theta=\frac{\pi}{2}: testar f(\pi-\theta)=f(\theta).
    • Simetria em relação ao polo (origem): se f(\theta+\pi)=-f(\theta). Isso porque o ponto (r,\theta+\pi) com r=f(\theta+\pi) pode representar o mesmo ponto cartesiano que (r,\theta) até mudança de sinal de r; a igualdade acima garante essa coincidência para todos os \theta.
Vou aplicar essas ideias passo a passo à nossa função f(\theta)=2\sin(3\theta).

Passo 3

Interseções com o polo (origem). Resolver r=0:
2\sin(3\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(3\theta)=0.
As soluções gerais são
3\theta = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
portanto
\theta = \frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo usual [0,2\pi) aparecem seis valores distintos:
\theta = 0,\; \frac{\pi}{3},\; \frac{2\pi}{3},\; \pi,\; \frac{4\pi}{3},\; \frac{5\pi}{3}.
Cada um desses \theta r=0, ou seja, a curva passa pelo polo nesses ângulos (ou seja, a origem é ponto da curva para essas direções).

Passo 4

Interseções com o eixo polar ( \theta=0, eixo x positivo).
Geometricamente queremos pontos da curva cuja abscissa y=0 e que fiquem sobre o semieixo positivo. Use
y=r\sin\theta = 2\sin(3\theta)\sin\theta.
Para y=0 precisamos de \sin\theta=0 ou \sin(3\theta)=0. Em ambos os casos, como vimos no Passo 3, quando \sin(3\theta)=0 então r=0 (polo). Se \sin\theta=0 então \theta=k\pi e também r=2\sin(3k\pi)=0 (polo). Portanto todas as soluções que dão y=0 para a curva resultam em r=0.
Conclusão: a curva não intersecta o eixo polar em nenhum ponto diferente do polo; as únicas interseções com a reta \theta=0 são as passagens pelo polo (valores listados no Passo 3). Em outras palavras: não há ponto com y=0 e r\ne0.

Passo 5

Interseções com a reta \theta=\frac{\pi}{2} (eixo y, eixo vertical).
Procuramos pontos com x=r\cos\theta=0. Então
x = 2\sin(3\theta)\cos\theta = 0.
Isto ocorre se \cos\theta=0 ou \sin(3\theta)=0. Novamente \sin(3\theta)=0 r=0 (polo). O caso não-trivial é \cos\theta=0, que ocorre para
\theta=\frac{\pi}{2}\quad\text{ou}\quad \theta=\frac{3\pi}{2}\quad(\text{mod }2\pi).
Calcule r nesses ângulos:
  • Para \theta=\frac{\pi}{2}:
r=2\sin\!\big(3\cdot\frac{\pi}{2}\big)=2\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=2(-1)=-2.
  • Para \theta=\frac{3\pi}{2}:
r=2\sin\!\big(3\cdot\frac{3\pi}{2}\big)=2\sin\!\big(\tfrac{9\pi}{2}\big).
Como \sin\!\big(\tfrac{9\pi}{2}\big)=\sin\!\big(4\pi+\tfrac{\pi}{2}\big)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1, obtemos r=2.
Ambos os pares (r,\theta)=(-2,\tfrac{\pi}{2}) e (2,\tfrac{3\pi}{2}) representam o mesmo ponto cartesiano:
x = 0,\qquad y = -2.
Portanto a curva intercepta a reta \theta=\frac{\pi}{2} em (0,-2) (ponto não-nulo). Observação: o valor aparece com dois pares polares equivalentes porque permissões de r negativo mudam a representação.
Além desse ponto, a reta \theta=\frac{\pi}{2} também cruza a curva no polo (quando \theta for um dos \frac{k\pi}{3} do Passo 3 que coincida com \frac{\pi}{2} mod 2\pi — neste caso não há coincidência exata, então o único ponto não-polo é (0,-2)).

Passo 6

Testes de simetria aplicados a f(\theta)=2\sin(3\theta).
  1. Simetria em relação ao eixo polar ( \theta\mapsto -\theta). Calculamos
f(-\theta)=2\sin(-3\theta)=-2\sin(3\theta)=-f(\theta).
Como f(-\theta) \neq f(\theta) em geral, a condição simples f(-\theta)=f(\theta) falha. O fato de f(-\theta)=-f(\theta) não implica igualdade direta de pontos sem considerar o sinal de r. Portanto a curva NÃO é simétrica em relação ao eixo polar (não há simetria simples y\mapsto -y mantendo x igual).
  1. Simetria em relação à reta \theta=\frac{\pi}{2} (testar \theta\mapsto \pi-\theta). Calculamos
f(\pi-\theta)=2\sin\big(3(\pi-\theta)\big)=2\sin(3\pi-3\theta).
Usando \sin(3\pi-3\theta)=\sin(3\theta) (porque \sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha, e aqui 3\pi-3\theta= \pi + (2\pi-3\theta) — mais direto: expandir por identidade dá o mesmo), de fato obtemos
f(\pi-\theta)=2\sin(3\theta)=f(\theta).
Logo a curva satisfaz f(\pi-\theta)=f(\theta) e, portanto, é simétrica em relação à reta \theta=\frac{\pi}{2}.
(Explicação curta para lembrar: trocando \theta por \pi-\theta refletimos em torno da reta vertical; como a função fica igual, o reflexo coincide com a curva original.)
  1. Simetria em relação ao polo (origem). Testar \theta\mapsto\theta+\pi:
f(\theta+\pi)=2\sin(3\theta+3\pi)=2\sin(3\theta+\pi)= -2\sin(3\theta)=-f(\theta).
A condição f(\theta+\pi)=-f(\theta) é exatamente a que garante que, para cada ponto (r,\theta) da curva, existe o correspondente (r,\theta+\pi) com r trocado de sinal, representando o mesmo ponto cartesiano — isto mostra que a curva é simétrica em relação ao polo. Assim a curva é simétrica em relação ao polo.
Resumo das simetrias: simétrica em relação à reta \theta=\frac{\pi}{2} e em relação ao polo; não é simétrica em relação ao eixo polar \theta=0.

Resposta

Interseções com o polo: \theta=\dfrac{k\pi}{3}, k\in\mathbb{Z} (no intervalo [0,2\pi): \theta=0,\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3},\pi,\tfrac{4\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}).
Interseção com o eixo polar \theta=0: apenas o polo (nenhum outro ponto com r\ne0).
Interseção com a reta \theta=\dfrac{\pi}{2}: ponto cartesiano (0,-2). Em coordenadas polares: (r,\theta)=(-2,\tfrac{\pi}{2}) equivalente a (2,\tfrac{3\pi}{2}).
Simetrias: simétrica em relação à reta \theta=\dfrac{\pi}{2} e em relação ao polo; não é simétrica em relação ao eixo polar \theta=0.

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