Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo \frac{\pi}{2} e o polo das seguintes curvas.
r=2+4 \cos \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r=2+4\cos\theta
e pede:
  • as interseções dessa curva com o eixo polar (linha \theta=0);
  • as interseções com o eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} (linha vertical);
  • as interseções com o polo (origem), isto é, os \theta tais que r=0;
  • as simetrias da curva em relação ao eixo polar, ao eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} e ao polo.
Informações relevantes fornecidas:
  • a função que dá o raio em função do ângulo é f(\theta)=2+4\cos\theta;
  • valores trigonométricos úteis: \cos 0=1, \cos \pi=-1, \cos\frac{\pi}{2}=0, \cos\frac{3\pi}{2}=0;
  • para achar o polo resolveremos 2+4\cos\theta=0.

Passo 2

Como achar interseções com o eixo polar (linha \theta=0 e direção oposta \theta=\pi):
  • calcule r em \theta=0:
r(0)=2+4\cos 0=2+4\cdot1=6.
Isto dá o ponto na coordenada polar (r,\theta)=(6,0), que em cartesianas é (6,0).
  • calcule r em \theta=\pi:
r(\pi)=2+4\cos\pi=2+4\cdot(-1)=2-4=-2.
Interpretação do r negativo: o par (r,\theta)=(-2,\pi) representa geometricamente o mesmo ponto que (2,\pi+\pi)=(2,2\pi), ou seja, é um ponto sobre a direção \theta=0 com distância 2 ao polo. Em coordenadas cartesianas esse ponto é (2,0).
Conclusão: a curva encontra o eixo polar nas posições x=6 e x=2 (pontos (6,0) e (2,0)).

Passo 3

Interseções com o eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} (direção vertical, norte-sul). Avaliamos \theta=\tfrac{\pi}{2} e \theta=\tfrac{3\pi}{2}:
  • \theta=\tfrac{\pi}{2}:
r\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2+4\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2+4\cdot0=2,
ou seja ponto polar (2,\tfrac{\pi}{2}) que em cartesianas é (0,2).
  • \theta=\tfrac{3\pi}{2}:
r\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=2+4\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=2+4\cdot0=2,
ponto (2,\tfrac{3\pi}{2}) que em cartesianas é (0,-2).
Conclusão: a curva cruza a linha \theta=\tfrac{\pi}{2} nos pontos (0,2) e (0,-2).

Passo 4

Interseção com o polo (origem): resolver r=0.
2+4\cos\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=-\tfrac{1}{2}.
As soluções básicas no intervalo [0,2\pi) são
\theta=\tfrac{2\pi}{3}\quad\text{e}\quad \theta=\tfrac{4\pi}{3}.
Portanto a curva passa pelo polo para essas duas direções de parâmetro. Esses dois valores de \theta correspondem ao mesmo lugar geométrico (o polo), ou seja, a curva atinge a origem nesses \theta.

Passo 5

Testes de simetria — explicando a ideia rápida antes de aplicar:
  • Para verificar simetria em relação ao eixo polar (eixo \theta=0) testamos se f(-\theta)=f(\theta). Se for verdadeiro, a curva é simétrica em relação ao eixo polar.
  • Para simetria em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2} testamos se f(\pi-\theta)=f(\theta).
  • Para simetria em relação ao polo (origem) um teste usual é verificar f(\theta+\pi)=-f(\theta) (isso corresponde a refletir os pontos através do polo com possível troca do sinal de r).
Agora aplicar aos nossos f(\theta)=2+4\cos\theta:
  • Polar (eixo \theta=0):
f(-\theta)=2+4\cos(-\theta)=2+4\cos\theta=f(\theta),
pois \cos é função par. Logo a curva é simétrica em relação ao eixo polar.
  • Eixo \theta=\tfrac{\pi}{2}:
f(\pi-\theta)=2+4\cos(\pi-\theta)=2+4(-\cos\theta)=2-4\cos\theta,
que em geral é diferente de f(\theta)=2+4\cos\theta. Assim não há simetria em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Polo (origem):
f(\theta+\pi)=2+4\cos(\theta+\pi)=2+4(-\cos\theta)=2-4\cos\theta.
Compare com -f(\theta)=-2-4\cos\theta; não são iguais em geral, portanto a condição f(\theta+\pi)=-f(\theta) falha e a curva não é simétrica em relação ao polo.

Passo 6

Interpretação geométrica curta (para te deixar mais confiante): a forma r=a+b\cos\theta com b>a>0 costuma produzir um limaçon com laço interno. Aqui a=2 e b=4 (logo b>a), por isso a curva tem um laço que faz com que ela atravesse o polo em dois ângulos (já achados) e corte os eixos nas posições calculadas. A verificação de simetria que fizemos confirma que esse limaçon é simétrico horizontalmente (eixo polar) mas não verticalmente nem por rotação de 180^\circ em torno do polo.

Resposta

Interseções com o eixo polar ( \theta=0): (6,0) e (2,0).
Interseções com o eixo \theta=\tfrac{\pi}{2}: (0,2) e (0,-2).
Interseção com o polo: r=0 para \theta=\tfrac{2\pi}{3} e \theta=\tfrac{4\pi}{3}.
Simetrias: a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( \theta=0); não é simétrica em relação ao eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} nem em relação ao polo.

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