Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo
e o polo das seguintes curvas.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede:
- as interseções dessa curva com o eixo polar (linha
); - as interseções com o eixo
(linha vertical); - as interseções com o polo (origem), isto é, os
tais que ; - as simetrias da curva em relação ao eixo polar, ao eixo
e ao polo.
Informações relevantes fornecidas:
- a função que dá o raio em função do ângulo é
; - valores trigonométricos úteis:
, , , ; - para achar o polo resolveremos
.
Passo 2
Como achar interseções com o eixo polar (linha
e direção oposta
):
- calcule
em :
Isto dá o ponto na coordenada polar
, que em cartesianas é
.
- calcule
em :
Interpretação do
negativo: o par
representa geometricamente o mesmo ponto que
, ou seja, é um ponto sobre a direção
com distância
ao polo. Em coordenadas cartesianas esse ponto é
.
Conclusão: a curva encontra o eixo polar nas posições e
(pontos
e
).
Conclusão: a curva encontra o eixo polar nas posições
Passo 3
Interseções com o eixo
(direção vertical, norte-sul). Avaliamos
e
:
-
:
ou seja ponto polar
que em cartesianas é
.
-
:
ponto
que em cartesianas é
.
Conclusão: a curva cruza a linha nos pontos
e
.
Conclusão: a curva cruza a linha
Passo 4
Interseção com o polo (origem): resolver
.
As soluções básicas no intervalo
são
Portanto a curva passa pelo polo para essas duas direções de parâmetro. Esses dois valores de
correspondem ao mesmo lugar geométrico (o polo), ou seja, a curva atinge a origem nesses
.
Passo 5
Testes de simetria — explicando a ideia rápida antes de aplicar:
- Para verificar simetria em relação ao eixo polar (eixo
) testamos se . Se for verdadeiro, a curva é simétrica em relação ao eixo polar. - Para simetria em relação à reta
testamos se . - Para simetria em relação ao polo (origem) um teste usual é verificar
(isso corresponde a refletir os pontos através do polo com possível troca do sinal de ).
Agora aplicar aos nossos
:
- Polar (eixo
):
pois
é função par. Logo a curva é simétrica em relação ao eixo polar.
- Eixo
:
que em geral é diferente de
. Assim não há simetria em relação à reta
.
- Polo (origem):
Compare com
; não são iguais em geral, portanto a condição
falha e a curva não é simétrica em relação ao polo.
Passo 6
Interpretação geométrica curta (para te deixar mais confiante): a forma
com
costuma produzir um limaçon com laço interno. Aqui
e
(logo
), por isso a curva tem um laço que faz com que ela atravesse o polo em dois ângulos (já achados) e corte os eixos nas posições calculadas. A verificação de simetria que fizemos confirma que esse limaçon é simétrico horizontalmente (eixo polar) mas não verticalmente nem por rotação de
em torno do polo.
Resposta
Interseções com o eixo polar (
):
e
.
Interseções com o eixo
:
e
.
Interseção com o polo:
para
e
.
Simetrias: a curva é simétrica em relação ao eixo polar (
); não é simétrica em relação ao eixo
nem em relação ao polo.