Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para, usando o teste da primeira derivada, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
f(x)=x^{4}-2x^{2}+3
além dos pontos onde ocorrem máximos e mínimos locais. Vamos precisar calcular f'(x), achar os pontos críticos e analisar o sinal de f'(x) nos intervalos formados por esses pontos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=x^{4}-2x^{2}+3,
usamos a regra da potência e obtemos
f'(x)=4x^{3}-4x.
Fatorando,
f'(x)=4x\bigl(x^{2}-1\bigr)=4x(x-1)(x+1).

Passo 3

Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0. Então
4x(x-1)(x+1)=0
se anula em
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.

Passo 4

Agora, para aplicar o teste da primeira derivada, analisamos o sinal de f'(x)=4x(x-1)(x+1) nos intervalos determinados por -\infty< x<-1, -1< x<0, 0< x<1 e x>1. Como o fator 4 é positivo, o sinal vem de x\,(x-1)\,(x+1):
  • Em x<-1: x<0, x-1<0, x+1<0 \to produto de três negativos é negativo \to f'(x)<0.
  • Em -1<x<0: x<0, x-1<0, x+1>0 \to dois negativos e um positivo \to f'(x)>0.
  • Em 0<x<1: x>0, x-1<0, x+1>0 \to um negativo \to f'(x)<0.
  • Em x>1: todos os fatores positivos \to f'(x)>0.

Passo 5

Com base no sinal de f'(x):
– Para x\in(-\infty,-1): f'(x)<0, logo f decresce.
– Para x\in(-1,0): f'(x)>0, logo f cresce.
– Para x\in(0,1): f'(x)<0, logo f decresce.
– Para x\in(1,\infty): f'(x)>0, logo f cresce.

Passo 6

Os pontos em que f'(x) muda de sinal são:
– Em x=-1: muda de negativo para positivo \to mínimo local.
– Em x=0: muda de positivo para negativo \to máximo local.
– Em x=1: muda de negativo para positivo \to mínimo local.
Calculamos os valores:
f(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{2}+3=1-2+3=2,
f(0)=0^{4}-2\cdot0^{2}+3=3,
f(1)=1-2+3=2.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-1,0) e (1,\infty)
Intervalos de decrescimento: (-\infty,-1) e (0,1)
Mínimos locais em \bigl(-1,2\bigr) e \bigl(1,2\bigr)
Máximo local em \bigl(0,3\bigr)

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