Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
Passo 1
O enunciado pede para, usando o teste da primeira derivada, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
além dos pontos onde ocorrem máximos e mínimos locais. Vamos precisar calcular
, achar os pontos críticos e analisar o sinal de
nos intervalos formados por esses pontos.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Como
usamos a regra da potência e obtemos
Fatorando,
Passo 3
Os pontos críticos são as soluções de
. Então
se anula em
Passo 4
Agora, para aplicar o teste da primeira derivada, analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por
,
,
e
. Como o fator
é positivo, o sinal vem de
:
- Em
: , , produto de três negativos é negativo . - Em
: , , dois negativos e um positivo . - Em
: , , um negativo . - Em
: todos os fatores positivos .
Passo 5
Com base no sinal de
:
– Para :
, logo
decresce.
– Para :
, logo
cresce.
– Para :
, logo
decresce.
– Para :
, logo
cresce.
– Para
– Para
– Para
– Para
Passo 6
Os pontos em que
muda de sinal são:
– Em : muda de negativo para positivo
mínimo local.
– Em : muda de positivo para negativo
máximo local.
– Em : muda de negativo para positivo
mínimo local.
Calculamos os valores:
– Em
– Em
– Em
Calculamos os valores:
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
Intervalos de decrescimento: e
Mínimos locais em e
Máximo local em
Intervalos de decrescimento:
Mínimos locais em
Máximo local em