Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos máximos e mínimos locais, usando o teste da primeira derivada. Para isso vamos (1) calcular
, (2) achar os pontos críticos onde
, (3) analisar o sinal de
em cada intervalo, e (4) classificar máximos e mínimos locais e calcular seus valores.
Passo 2
Calculamos a derivada de
pela regra de potência:
Fatorando o polinômio obtemos
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja,
Passo 3
Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, escolhemos um ponto em cada intervalo definido por
e
:
- Em
, por exemplo , temos e , logo e . - Em
, por exemplo , temos e , logo e . - Em
, por exemplo , temos e , logo e .
Portanto,
Passo 4
Pelas trocas de sinal de
em
e em
, concluímos:
- Em
, muda de positivo para negativo, logo há um máximo local em . Calculamos
- Em
, muda de negativo para positivo, logo há um mínimo local em . Calculamos
Resposta
Os intervalos de crescimento são
e
.
O intervalo de decrescimento é .
Há um máximo local em com valor
.
Há um mínimo local em com valor
.
O intervalo de decrescimento é
Há um máximo local em
Há um mínimo local em