Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos máximos e mínimos locais, usando o teste da primeira derivada. Para isso vamos (1) calcular f'(x), (2) achar os pontos críticos onde f'(x)=0, (3) analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo, e (4) classificar máximos e mínimos locais e calcular seus valores.

Passo 2

Calculamos a derivada de
f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x
pela regra de potência:
f'(x)=6x^{2}+6x-36.
Fatorando o polinômio obtemos
f'(x)=6\bigl(x^{2}+x-6\bigr) =6(x+3)(x-2).
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja,
x+3=0\implies x=-3, \quad x-2=0\implies x=2.

Passo 3

Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, escolhemos um ponto em cada intervalo definido por -3 e 2:
  • Em x<-3, por exemplo x=-4, temos (x+3)<0 e (x-2)<0, logo (x+3)(x-2)>0 e f'(-4)>0.
  • Em -3<x<2, por exemplo x=0, temos (x+3)>0 e (x-2)<0, logo (x+3)(x-2)<0 e f'(0)<0.
  • Em x>2, por exemplo x=3, temos (x+3)>0 e (x-2)>0, logo (x+3)(x-2)>0 e f'(3)>0.
Portanto,
\text{cresce em }(-\infty,-3)\cup(2,+\infty), \quad \text{decresce em }(-3,2).

Passo 4

Pelas trocas de sinal de f'(x) em -3 e em 2, concluímos:
  • Em x=-3, f' muda de positivo para negativo, logo há um máximo local em x=-3. Calculamos
f(-3) =2(-3)^{3}+3(-3)^{2}-36(-3) =-54+27+108 =81.
  • Em x=2, f' muda de negativo para positivo, logo há um mínimo local em x=2. Calculamos
f(2) =2\cdot2^{3}+3\cdot2^{2}-36\cdot2 =16+12-72 =-44.

Resposta

Os intervalos de crescimento são (-\infty,-3) e (2,+\infty).
O intervalo de decrescimento é (-3,2).
Há um máximo local em x=-3 com valor f(-3)=81.
Há um mínimo local em x=2 com valor f(2)=-44.

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