(3 pontos) Se w=x^{4} y+y^{2} z^{3}, onde x=r s e^{t}, y=r s^{2} e^{-t} e z=r^{2} s \operatorname{sen}(t), determine o valor de \frac{\partial w}{\partial s} quando r=2, s=1 e t=0.
8. Dados a função f(x, y, z)=x e^{2 y z}, o ponto P(3,0,2) e o vetor u=\frac{2}{3} i-\frac{2}{3} j+\frac{1}{3} k.
Passo 1
O enunciado define
w = x^{4}y + y^{2}z^{3},
com
x = r\,s\,e^{t},\quad y = r\,s^{2}\,e^{-t},\quad z = r^{2}\,s\,\operatorname{sen}(t),
e pede \displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} em r=2,\;s=1,\;t=0.
Conteúdo: derivada parcial de função composta (regra da cadeia).
Passo 2
Usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis: