(3 pontos) Mostre que o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 y x^{2}}{x^{2}+y^{2}} existe. Passo 1O enunciado pede para mostrar que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}} existe. Isto é um limite de função de duas variáveis no ponto (0,0). A estratégia será usar o Teorema do Confronto (Squeeze), estimando o valor absoluto da expressão por algo que tende a zero. Passo 2Começamos com o valor absoluto da função: \left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| =3\,\frac{|y|\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Como sempre vale x^{2}\le x^{2}+y^{2}, temos \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le1 \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le3\,|y|. Além disso, note que |y|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}, pois \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância ao ponto (0,0). Portanto \left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le3\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Passo 3Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0. Como 0\le \left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le3\,r e 3r\to0, o Teorema do Confronto garante \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0. Resposta 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(3 pontos) Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2} para k=1,4,9. (3 pontos) Determine o domínio e em seguida esboce o gráfico do domínio da função f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x+y-1}} (3 pontos) Se w=x^{4} y+y^{2} z^{3}, onde x=r s e^{t}, y=r s^{2} e^{-t} e z=r^{2} s \operatorname{sen}(t), determine o valor de \frac{\partial w}{\partial s} quando r=2, s=1 e t=0. 8. Dados a função f(x, y, z)=x e^{2 y z}, o ponto P(3,0,2) e o vetor u=\frac{2}{3} i-\frac{2}{3} j+\frac{1}{3} k. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada): f(x)=4 x^{3}-8 x^{2}