(3 pontos) Mostre que o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 y x^{2}}{x^{2}+y^{2}} existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
existe. Isto é um limite de função de duas variáveis no ponto (0,0). A estratégia será usar o Teorema do Confronto (Squeeze), estimando o valor absoluto da expressão por algo que tende a zero.

Passo 2

Começamos com o valor absoluto da função:
\left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| =3\,\frac{|y|\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Como sempre vale x^{2}\le x^{2}+y^{2}, temos
\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le1 \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le3\,|y|.
Além disso, note que
|y|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}},
pois \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância ao ponto (0,0). Portanto
\left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le3\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0. Como
0\le \left|\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le3\,r
e 3r\to0, o Teorema do Confronto garante
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3\,y\,x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Resposta

0

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