Determinar os intervalos onde as funções abaixo são crescentes e decrescentes.
f(x)=3 x^{2}+6 x+7.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de monotonicidade de f(x)=3x^{2}+6x+7. O conteúdo principal aqui é estudar onde a derivada de f é positiva (crescimento) ou negativa (decaimento).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+6x+7\bigr)=6x+6.

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico, resolvemos
6x+6=0\quad\Longrightarrow\quad x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=6(x+1):
  • Se x<-1, então x+1<0 e f'(x)<0, logo f é decrescente em (-\infty,-1).
  • Se x>-1, então x+1>0 e f'(x)>0, logo f é crescente em (-1,\infty).

Resposta

A função f é decrescente em (-\infty,-1) e crescente em (-1,\infty).

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