Determinar os intervalos onde as funções abaixo são crescentes e decrescentes.
\quad f(x)=x^{3}+2 x^{2}-4 x+2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 4x + 2
é crescente ou decrescente. Este é um problema de monotonicidade, que resolvemos calculando a primeira derivada e analisando seu sinal: onde f'(x)>0 a função cresce, e onde f'(x)<0 a função decresce.

Passo 2

Vamos achar a derivada de f. Pela regra de potenciação e soma,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr) + \frac{d}{dx}(2) = 3x^{2} + 4x - 4.

Passo 3

Precisamos dos pontos críticos onde f'(x)=0. Resolve-se a equação quadrática
3x^{2} + 4x - 4 = 0.
O discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4\cdot3\cdot(-4) = 16 + 48 = 64,
portanto as raízes são
x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2\cdot3} = \frac{-4 \pm 8}{6},
isto é
x_{1} = -2 \quad\text{e}\quad x_{2} = \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Como f'(x) é um polinômio de segundo grau com coeficiente líder 3>0, ele é positivo para x < x_{1} e para x > x_{2}, e negativo entre as raízes. Logo:
- Para x\in(-\infty,-2), temos f'(x)>0, então f é crescente.
- Para x\in(-2,\tfrac{2}{3}), temos f'(x)<0, então f é decrescente.
- Para x\in(\tfrac{2}{3},\infty), temos f'(x)>0, então f volta a ser crescente.

Resposta

A função f(x) é crescente em (-\infty,-2)\cup(\tfrac{2}{3},\infty) e decrescente em ( -2,\tfrac{2}{3} ).

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