Seja T o operador linear do R^2 cuja matriz em relação à base B=(1,1),(1,-1) é
[T]B=[ll 1 & 0 0 & 5 ]
Determine a matriz de T em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador linear.

Passo 1

O enunciado fornece um operador linear Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base
B=(1,1),(1,-1)
é
[T]B = 1 & 0 0 & 5
Queremos a matriz de T na base canônica E=(1,0),(0,1). Para isso usamos a fórmula de mudança de base
[T]E ;=; P,[T]B,P^-1,
once P é a matriz que leva coordenadas de B para coordenadas de E.

Passo 2

As colunas de P são os vetores de B escritos na base canônica, logo
P = 1 & 1 1 & -1

Passo 3

Calculamos det P = 1cdot(-1)-1cdot1 = -2. Pelo inverso de matriz 2times2,
P^-1 = 1-2-1 & -1 -1 & 1 = 12 & 12 12 & -12

Passo 4

Primeiro computamos
[T]B,P^-1 = 1 & 0 0 & 5 12 & 12 12 & -12 = 12 & 12 52 & -52
Em seguida
[T]E = P,( [T]B,P^-1 ) = 1 & 1 1 & -1 12 & 12 52 & -52 = 3 & -2 -2 & 3

Resposta

[T]E = 3 & -2 -2 & 3

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