Determinar k para que
(ll1 & 0 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(cc2 & -1 k & 0)
seja LD.

Passo 1

O enunciado pede determinar k para que o conjunto de matrizes
A = 1 & 0 1 & 0, B = 1 & 1 0 & 0, C = 2 & -1 k & 0
seja linearmente dependente. Essas matrizes vivem em um espaço vetorial de dimensão 4, então para testar dependência linear vamos buscar escalares lambda,mu,nu, não todos nulos, tais que
lambda A + mu B + nu C = 0

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando cada entrada à zero, temos
o que gera o sistema

Passo 3

Da segunda equação vem mu = nu. Substituindo na primeira:
lambda + 3nu = 0 Longrightarrow lambda = -3nu
A terceira equação dá lambda = -knu. Para existir solução não trivial ( nuneq0) precisamos de
-3nu = -knu Longrightarrow k = 3

Passo 4

Logo, se k=3 existe escolha de lambda,mu,nu não todos nulos que anula a combinação linear, tornando o conjunto dependente. Para kneq3 só há solução trivial, e o conjunto seria independente.

Resposta

k = 3

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