O enunciado pede determinar k para que o conjunto de matrizes
A = 1 & 0 1 & 0, B = 1 & 1 0 & 0, C = 2 & -1 k & 0
seja linearmente dependente. Essas matrizes vivem em um espaço vetorial de dimensão 4, então para testar dependência linear vamos buscar escalares lambda,mu,nu, não todos nulos, tais que
lambda A + mu B + nu C = 0
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e igualando cada entrada à zero, temos
o que gera o sistema
Passo 3
Da segunda equação vem mu = nu. Substituindo na primeira:
lambda + 3nu = 0 Longrightarrow lambda = -3nu
A terceira equação dá lambda = -knu. Para existir solução não trivial (nuneq0) precisamos de
-3nu = -knu Longrightarrow k = 3
Passo 4
Logo, se k=3 existe escolha de lambda,mu,nu não todos nulos que anula a combinação linear, tornando o conjunto dependente. Para kneq3 só há solução trivial, e o conjunto seria independente.