Nos Exercícios 22-24, sejam p1(x)=x^2-9, p2(x)=x+3 e p3(x)=x-3. Mostre que p1(A)=p2(A) p3(A), com a matriz dada.

Passo 1

O enunciado define os polinômios
p1(x)=x^2-9, p2(x)=x+3, p3(x)=x-3
e pede para mostrar, para a dada matriz A, que
p1(A)=p2(A),p3(A)
O conteúdo aqui é avaliação de polinômios em matrizes e uso de fatoração de polinômios.

Passo 2

Observamos que, como polinômios em x,
p1(x)=x^2-9=(x+3)(x-3)=p2(x),p3(x)
Essa é a fatoração em dois polinômios lineares.

Passo 3

Por definição, para qualquer matriz quadrada A e polinômio q(x)=sum akx^k, temos
q(A)=sumkakA^k
Em particular,
p1(A)=A^2-9I, p2(A)=A+3I, p3(A)=A-3I,
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A.

Passo 4

Agora basta calcular
p2(A),p3(A)=(A+3I)(A-3I)
Como I comuta com A, expandimos:
(A+3I)(A-3I)=A^2-3A+3A-9I=A^2-9I
Portanto
p2(A),p3(A)=A^2-9I=p1(A)

Resposta

p1(A)=p2(A),p3(A)

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