a) Determinar a lei da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que
T(1,2,3)=\underset{(1,0,0,1)}{(1,0,1)}, \quad T(0,1,2)=(1,1,1,0) \text { e } T(0,0,1)=(0,0,0,0)
Determinar o núcleo e a imagem da transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z, w)=(x-y, x-y+z-w, z-w)
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na (a) queremos achar a lei de uma transformação linear \displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 sabendo as imagens de três vetores. Na (b) queremos para \displaystyle T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3, dada por
T(x,y,z,w) = (\,x-y,\;x-y+z-w,\;z-w\,),
determinar o núcleo \ker(T) e a imagem \mathrm{Im}(T). Para isso vamos usar a representação matricial de T, resolver sistemas lineares para achar colunas da matriz e depois caracterizar núcleo e coluna.
Passo 2
Para (a), seja A a matriz 4\times3 que representa T na base canônica. As colunas de A são \;T(e_1),T(e_2),T(e_3). Das condições:
T(0,0,1)=T(e_3)=(0,0,0,0), logo a terceira coluna é zero.
T(0,1,2)=T(e_2)+2\,T(e_3)=T(e_2)=(1,1,1,0), então a segunda coluna é (1,1,1,0)^T.