a) Determinar a lei da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que
T(1,2,3)=\underset{(1,0,0,1)}{(1,0,1)}, \quad T(0,1,2)=(1,1,1,0) \text { e } T(0,0,1)=(0,0,0,0)
Determinar o núcleo e a imagem da transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z, w)=(x-y, x-y+z-w, z-w)

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na (a) queremos achar a lei de uma transformação linear \displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 sabendo as imagens de três vetores. Na (b) queremos para \displaystyle T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3, dada por
T(x,y,z,w) = (\,x-y,\;x-y+z-w,\;z-w\,),
determinar o núcleo \ker(T) e a imagem \mathrm{Im}(T). Para isso vamos usar a representação matricial de T, resolver sistemas lineares para achar colunas da matriz e depois caracterizar núcleo e coluna.

Passo 2

Para (a), seja A a matriz 4\times3 que representa T na base canônica. As colunas de A são \;T(e_1),T(e_2),T(e_3). Das condições:
  1. T(0,0,1)=T(e_3)=(0,0,0,0), logo a terceira coluna é zero.
  2. T(0,1,2)=T(e_2)+2\,T(e_3)=T(e_2)=(1,1,1,0), então a segunda coluna é (1,1,1,0)^T.
  3. T(1,2,3)=T(e_1)+2\,T(e_2)+3\,T(e_3)=T(e_1)+2\,(1,1,1,0)^T=(1,0,0,1)^T.
    Deste,
T(e_1) = (1,0,0,1)^T - 2\,(1,1,1,0)^T = (-1,-2,-2,1)^T.
Assim
A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\ \,1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3
T(x,y,z) = x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3) = \bigl(-x+y,\,-2x+y,\,-2x+y,\;x\bigr).

Passo 3

Para (b), achamos \ker(T) resolvendo
x-y=0,\quad x-y+z-w=0,\quad z-w=0.
Da primeira vem y=x, da terceira w=z, e a segunda é automaticamente satisfeita. Logo
(x,y,z,w)=(x,x,z,z)=x\,(1,1,0,0)+z\,(0,0,1,1).
Isto mostra
\ker(T)=\mathrm{span}\{(1,1,0,0),\,(0,0,1,1)\}.

Passo 4

Ainda em (b), a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},
que são col 1= (1,1,0), col 2= -\,\mathrm{col1}, col 3= (0,1,1), col 4= -\,\mathrm{col3}. Logo
\mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,1,0),\,(0,1,1)\} =\{(u,v,w)\mid v = u+w\}.

Resposta

(a) Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=(-x+y,\,-2x+y,\,-2x+y,\;x).
(b) \displaystyle \ker(T)=\mathrm{span}\{(1,1,0,0),\,(0,0,1,1)\}, \displaystyle \mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,1,0),\,(0,1,1)\}.

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