Instruções: Em respostas numéricas, digite um número em representação decimal, truncando ou arredondando na segunda casa após a vírgula.
Sobre uma elipse \mathcal{E}, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-3,2);
  • a excentricidade é igual a 0.6;
  • a reta focal é paralela ao eixo O x;
  • o ponto (0,5) pertence a \mathcal{E}.
Complete:
(a) O eixo maior mede \square
(b) O eixo menor mede \square
(c) Se x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0 é uma equação para \mathcal{E}, então: C= \square, e F=\square

Passo 1

O enunciado dá uma elipse \mathcal{E} de centro (-3,2), excentricidade e=0,6 e eixo maior paralelo a Ox, e diz que (0,5) pertence a \mathcal{E}. Vamos passar para coordenadas centradas
X = x + 3,\quad Y = y - 2
usar
c = ae,\quad b^2 = a^2(1-e^2)
e a equação padrão
\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1.

Passo 2

No ponto (0,5) temos
X_0 = 0 + 3 = 3,\quad Y_0 = 5 - 2 = 3.
Como b^2 = a^2(1-0,6^2)=0,64\,a^2, a condição \tfrac{X_0^2}{a^2}+\tfrac{Y_0^2}{b^2}=1
\frac{9}{a^2} + \frac{9}{0,64\,a^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 9 + \frac{9}{0,64} = 23,0625,
b^2 = 0,64\,a^2 = 14,76.

Passo 3

Os comprimentos dos eixos são 2a e 2b. Logo,
2a = 2\sqrt{23,0625}\approx9,60, \qquad 2b = 2\sqrt{14,76}\approx7,68.

Passo 4

A equação geral sai de
14,76\,(x+3)^2 \;+\;23,0625\,(y-2)^2 \;=\;23,0625\times14,76.
Ao expandir e dividir por 14,76 para deixar o coeficiente de x^2 igual a 1, obtém-se
C = \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{0,64} = 1,5625\approx1,56,
e o termo independente
F = \frac{14,76\cdot9 + 23,0625\cdot4 - 23,0625\cdot14,76}{14,76} \approx -7,81.

Resposta

(a) 9,60
(b) 7,68
(c) C=1,56, F=-7,81

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