Escreva o vetor \vec{v}=(2,-5,3) \in \mathbb{R}^{3} como combinação linear dos vetores (1,-3,2), (2,-4,-1) e (1,-5,7)

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor \vec{v}=(2,-5,3)\in\mathbb{R}^3 e pede para escrevê-lo como combinação linear dos vetores
u_1 = (1,-3,2),\quad u_2 = (2,-4,-1),\quad u_3 = (1,-5,7).
O conteúdo envolvido é combinação linear e resolução de sistema linear para encontrar escalares a,b,c.

Passo 2

Assumimos que existam a,b,c\in\mathbb{R} tais que
\vec v = a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b + c = 2,\\\\ -3a -4b -5c = -5,\\\\ 2a - b +7c = 3. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos c:
c = 2 - a - 2b.

Passo 4

Substituindo esse c nas duas últimas equações gera o sistema em a,b:
2a +6b = 5, \quad 5a +15b = 11.

Passo 5

Se multiplicarmos a primeira equação por \tfrac{5}{2}, teríamos
5a +15b = \tfrac{5}{2}\cdot 5 = 12{,}5,
que contradiz a segunda, que exige 5a+15b=11. Logo o sistema é incompatível e não há solução para (a,b,c).

Resposta

Não existe (a,b,c)\in\mathbb R^3 tais que \vec v seja combinação linear de (1,-3,2), (2,-4,-1) e (1,-5,7).

Exercícios relacionados