Determinar:
\lim _{x \rightarrow 0} \cot (2 x) \cot \left(\frac{\pi}{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x\to0 da expressão
\cot(2x)\,\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Informações dadas (explicitando o que está no enunciado):
  • A expressão depende de funções trigonométricas \cot e \cot de argumentos que envolvem x.
  • O objetivo é calcular \displaystyle\lim_{x\to0}\cot(2x)\,\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right).

Passo 2

Vamos usar definições e identidades trigonométricas básicas. Primeiro expor o que é \cot e \tan:
  • Por definição, \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}.
  • Por definição, \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Usando isso, calculemos \cot\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right):
\cot\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.
Portanto podemos reescrever a expressão do limite como
\cot(2x)\,\tan x.

Passo 3

Escrevendo \cot(2x) e \tan x em termos de seno e cosseno:
\cot(2x)\,\tan x = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos(2x)\,\sin x}{\sin(2x)\,\cos x}.

Passo 4

Agora usamos a identidade do seno do ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Substituindo em cima:
\frac{\cos(2x)\,\sin x}{\sin(2x)\,\cos x} = \frac{\cos(2x)\,\sin x}{(2\sin x\cos x)\,\cos x} = \frac{\cos(2x)\,\sin x}{2\sin x\cos^2 x}.
Como x\neq0 nas proximidades do limite, podemos cancelar \sin x (isso é legítimo ao calcular limite, pois estamos simplificando a expressão para x próximo de 0, não avaliando exatamente em 0):
\frac{\cos(2x)}{2\cos^2 x}.

Passo 5

Colocando o fator 1/2 em evidência:
\frac{\cos(2x)}{2\cos^2 x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(2x)}{\cos^2 x}.
As funções trigonométricas \cos(2x) e \cos^2 x são contínuas em x=0 e \cos 0=1, portanto podemos aplicar substituição direta no limite:
\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(2x)}{\cos^2 x} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos 0}{\cos^2 0} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} =\frac{1}{2}.

Passo 6

Como alternativa rápida (intuição): para x pequeno tem-se \tan x\approx x e \cot(2x)\approx\dfrac{1}{2x}, logo o produto tende a \dfrac{1}{2}. Ambas as abordagens concordam.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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