Determinar:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
da expressão
Informações dadas (explicitando o que está no enunciado):
- A expressão depende de funções trigonométricas
e de argumentos que envolvem . - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Vamos usar definições e identidades trigonométricas básicas. Primeiro expor o que é
e
:
- Por definição,
. - Por definição,
.
Usando isso, calculemos
:
Portanto podemos reescrever a expressão do limite como
Passo 3
Escrevendo
e
em termos de seno e cosseno:
Passo 4
Agora usamos a identidade do seno do ângulo duplo:
Substituindo em cima:
Como
nas proximidades do limite, podemos cancelar
(isso é legítimo ao calcular limite, pois estamos simplificando a expressão para
próximo de
, não avaliando exatamente em
):
Passo 5
Colocando o fator
em evidência:
As funções trigonométricas
e
são contínuas em
e
, portanto podemos aplicar substituição direta no limite:
Passo 6
Como alternativa rápida (intuição): para
pequeno tem-se
e
, logo o produto tende a
. Ambas as abordagens concordam.