Determinar:
\lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede claramente para calcular
\lim_{x\to 0} x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações úteis que o enunciado dá (implícitas na expressão):
  • A função envolvida é x\mapsto x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Sabe-se que \operatorname{sen} (ou \sin) é uma função limitada: para todo t\in\mathbb{R} vale -1\le \sin t\le 1.
  • Queremos o comportamento quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro fato técnico e simples: para todo t\in\mathbb{R} temos
-1 \le \sin t \le 1.
Substituindo t=\dfrac{1}{x} (isso faz sentido para todo x\neq0) obtemos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Isso só repete que \sin(1/x) é sempre entre -1 e 1, mesmo que oscile muito quando x se aproxima de 0.

Passo 3

A partir da desigualdade anterior podemos obter um limite para o valor absoluto do produto. Multiplicando por |x|\ge 0 e lembrando que |\sin|\le 1, temos, para todo x\neq0,
\left|x\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| = |x|\cdot\left|\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le |x|\cdot 1 = |x|.
Ou seja,
\left|x\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le |x|.

Passo 4

Da desigualdade em módulo acima segue a desigualdade sem módulo:
-|x| \le x\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|.
Esta é a forma típica para aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze): se uma função f(x) fica presa entre duas funções g(x) e h(x) que têm o mesmo limite L quando x\to a, então f(x) também tem limite L quando x\to a.

Passo 5

Calcule os limites das funções que “sanduicham” nossa função:
\lim_{x\to 0} -|x| = 0, \qquad \lim_{x\to 0} |x| = 0.
Ambos são zero porque |x| é contínua em 0 e |0|=0.

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, como
-|x| \le x\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x|
e os limites das funções extremas são ambos 0, conclui-se que
\lim_{x\to 0} x\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Intuição rápida: \sin(1/x) pode oscilar muito quando x\to0, mas está sempre entre -1 e 1; multiplicando por x (que vai a 0) essas oscilações são “amortecidas” e o resultado tende a 0.

Resposta

0

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