Informações úteis que o enunciado dá (implícitas na expressão):
A função envolvida é x\mapsto x\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Sabe-se que \operatorname{sen} (ou \sin) é uma função limitada: para todo t\in\mathbb{R} vale -1\le \sin t\le 1.
Queremos o comportamento quando x se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro fato técnico e simples: para todo t\in\mathbb{R} temos
-1 \le \sin t \le 1.
Substituindo t=\dfrac{1}{x} (isso faz sentido para todo x\neq0) obtemos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Isso só repete que \sin(1/x) é sempre entre -1 e 1, mesmo que oscile muito quando x se aproxima de 0.
Passo 3
A partir da desigualdade anterior podemos obter um limite para o valor absoluto do produto. Multiplicando por |x|\ge 0 e lembrando que |\sin|\le 1, temos, para todo x\neq0,
Esta é a forma típica para aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche / Squeeze): se uma função f(x) fica presa entre duas funções g(x) e h(x) que têm o mesmo limite L quando x\to a, então f(x) também tem limite L quando x\to a.
Passo 5
Calcule os limites das funções que “sanduicham” nossa função:
Intuição rápida: \sin(1/x) pode oscilar muito quando x\to0, mas está sempre entre -1 e 1; multiplicando por x (que vai a 0) essas oscilações são “amortecidas” e o resultado tende a 0.