Determinar:
\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty} x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).
Informações dadas: a expressão envolve uma raiz quadrada de x^{2}+1 e o limite quando x tende para +\infty. Não há outros dados numéricos; devemos manipular algebricamente a expressão para chegar ao limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece uma diferença com raízes, uma técnica clássica é multiplicar por uma expressão que anule a raiz no numerador — o conjugado. O conjugado de \sqrt{x^{2}+1}-x é \sqrt{x^{2}+1}+x. Multiplicar e dividir por esse conjugado evita forma indeterminada e simplifica a expressão. Vou fazer isso passo a passo.
Multiplico a expressão por \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} (que é 1), obtendo:
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr) = x\cdot\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

Agora simplifico o numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}:
\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+x\bigr) = (\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}= (x^{2}+1)-x^{2}=1.
Portanto a expressão fica muito mais simples:
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)=x\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 4

Para tratar o limite quando x\to\infty é útil dividir numerador e denominador por x. Antes, note que para x\to+\infty temos x>0, então \sqrt{x^{2}}=x e podemos escrever
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Dividindo numerador e denominador por x obtemos
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} =\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 5

Agora usamos propriedades simples de limites e continuidade: a função \sqrt{\cdot} é contínua em valores positivos, assim se \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty, então
\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to \sqrt{1+0}=1.
Portanto, fazendo a substituição no denominador,
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1} =\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Comentário didático extra (opcional, para firmar a ideia): outra maneira rápida de ver isso é pela expansão assintótica
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=x\Bigl(1+\frac{1}{2x^{2}}+o\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\Bigr)=x+\frac{1}{2x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),
assim
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)=x\Bigl(\frac{1}{2x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr)=\frac{1}{2}+o(1),
confirmando o mesmo limite.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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