Determinar:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve uma raiz quadrada de
e o limite quando
tende para
. Não há outros dados numéricos; devemos manipular algebricamente a expressão para chegar ao limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece uma diferença com raízes, uma técnica clássica é multiplicar por uma expressão que anule a raiz no numerador — o conjugado. O conjugado de
é
. Multiplicar e dividir por esse conjugado evita forma indeterminada e simplifica a expressão. Vou fazer isso passo a passo.
Multiplico a expressão por
(que é
), obtendo:
Passo 3
Agora simplifico o numerador usando a identidade
:
Portanto a expressão fica muito mais simples:
Passo 4
Para tratar o limite quando
é útil dividir numerador e denominador por
. Antes, note que para
temos
, então
e podemos escrever
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 5
Agora usamos propriedades simples de limites e continuidade: a função
é contínua em valores positivos, assim se
quando
, então
Portanto, fazendo a substituição no denominador,
Passo 6
Comentário didático extra (opcional, para firmar a ideia): outra maneira rápida de ver isso é pela expansão assintótica
assim
confirmando o mesmo limite.