Determine o domínio das função real de uma variável f dada por:
f(x)=\frac{x}{2 x-7}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real de uma variável
f dada por
f(x)=\frac{x}{2x-7}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma expressão racional (uma fração) com numerador x e denominador 2x-7.
  • O domínio solicitado é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x) está bem definida como número real.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado (por exemplo, raízes pares, logaritmos, etc.).

Passo 2

Entendendo o que impede um valor de x de pertencer ao domínio: numa fração, a única operação problemática é divisão por zero. Dividir por zero não está definido nos reais, portanto qualquer x que torne o denominador igual a zero precisa ser excluído do domínio.
Explicação curta e concreta: a expressão \dfrac{a}{b} só é válida se \,b\neq0. Aqui o denominador é 2x-7, então precisamos exigir
2x-7 \neq 0.

Passo 3

Vamos resolver a equação que determina quando o denominador é zero. Colocamos igual a zero para encontrar o(s) valor(es) proibido(s):
2x-7=0.
Agora resolvemos passo a passo:
  • Isolamos 2x somando 7 aos dois lados:
2x = 7.
  • Em seguida dividimos ambos os lados por 2:
x = \frac{7}{2}.

Passo 4

Interpretação do resultado: x=\dfrac{7}{2} é o único valor que anula o denominador. Logo esse valor deve ser excluído do domínio; todos os outros números reais são permitidos porque não geram outras operações proibidas (o numerador x pode ser qualquer real).
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se x=0, então f(0)=\dfrac{0}{-7}=0 (bem definido).
  • Se x=4, então f(4)=\dfrac{4}{8-7}=4 (bem definido).
  • Se x=\dfrac{7}{2}, o denominador é zero e f\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr) não está definido.

Passo 5

Conclusão e forma final do domínio: excluímos apenas x=\dfrac{7}{2} do conjunto dos reais. Podemos escrever o domínio em notação de conjuntos ou em notação intervalar.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{7}{2}\right\}
\left(-\infty,\tfrac{7}{2}\right)\cup\left(\tfrac{7}{2},\infty\right)

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