Determinar o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule os limites
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y-y}{(x-1)^{2}+y^{2}},

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x y - y}{(x-1)^{2} + y^{2}},
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar a propriedade de limite de quociente: se o limite do numerador existe e o limite do denominador existe e é diferente de zero, então o limite da razão é o quociente dos limites.

Passo 2

Reescrevendo o numerador em fator comum, temos
x y - y = y\,(x-1),
portanto a função fica
f(x,y)=\frac{y\,(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Calculamos separadamente os limites quando (x,y)\to(0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}y\,(x-1) =\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}y\bigr)\,\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x-1)\bigr) =0\cdot(-1)=0,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl[(x-1)^{2}+y^{2}\bigr] =(0-1)^{2}+0^{2}=1\neq0.

Passo 4

Como o limite do numerador é 0 e o do denominador é 1\neq0, pela propriedade do quociente
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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