Determinar
, tal que
seja real e não nulo.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para determinar os valores de
tais que
seja real e não nulo. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Parte real de
: . - Parte imaginária de
: . - Condições pedidas:
é real (ou seja, ) e é não nulo (ou seja, ).
Passo 2
Conceito e estratégia: um número complexo genérico tem a forma
, com
. Esse número é real exatamente quando
. Além disso, um número complexo é nulo (igual a zero) exatamente quando
e
simultaneamente. Portanto, para nossa tarefa:
- Impor
e resolver para . - Entre as soluções obtidas, rejeitar qualquer
que torne também , porque aí (nulo) e não é permitido.
Passo 3
Impor que a parte imaginária seja zero:
Reconhecemos que isto é uma diferença de quadrados e fatoramos:
Portanto as soluções são
Passo 4
Verificar a condição “não nulo” para cada candidato:
- Para
: a parte real é , que é diferente de zero. A parte imaginária é por construção, então (real e não nulo). Logo é aceitável. - Para
: a parte real é , e a parte imaginária também é . Logo , que é real mas nulo, portanto não satisfaz a exigência “não nulo”. Assim deve ser rejeitado.
Passo 5
Conclusão final: o único valor de
que torna
real e não nulo é
.
Resposta
2