Determinar m, tal que z=(m+2)+\left(m^{2}-4\right) \cdot i seja real e não nulo. \quad R: 2

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=(m+2)+\left(m^{2}-4\right)i e pede para determinar os valores de m tais que z seja real e não nulo. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real de z: \operatorname{Re}(z)=m+2.
  • Parte imaginária de z: \operatorname{Im}(z)=m^{2}-4.
  • Condições pedidas: z é real (ou seja, \operatorname{Im}(z)=0) e z é não nulo (ou seja, z\neq 0).

Passo 2

Conceito e estratégia: um número complexo genérico tem a forma a+bi, com a,b\in\mathbb{R}. Esse número é real exatamente quando b=0. Além disso, um número complexo é nulo (igual a zero) exatamente quando a=0 e b=0 simultaneamente. Portanto, para nossa tarefa:
  • Impor \operatorname{Im}(z)=0 e resolver para m.
  • Entre as soluções obtidas, rejeitar qualquer m que torne também \operatorname{Re}(z)=0, porque aí z=0 (nulo) e não é permitido.

Passo 3

Impor que a parte imaginária seja zero:
m^{2}-4=0.
Reconhecemos que isto é uma diferença de quadrados e fatoramos:
m^{2}-4=(m-2)(m+2)=0.
Portanto as soluções são
m=2\quad\text{ou}\quad m=-2.

Passo 4

Verificar a condição “não nulo” para cada candidato:
  • Para m=2: a parte real é \operatorname{Re}(z)=m+2=2+2=4, que é diferente de zero. A parte imaginária é 0 por construção, então z=4 (real e não nulo). Logo m=2 é aceitável.
  • Para m=-2: a parte real é \operatorname{Re}(z)=m+2=-2+2=0, e a parte imaginária também é 0. Logo z=0, que é real mas nulo, portanto não satisfaz a exigência “não nulo”. Assim m=-2 deve ser rejeitado.

Passo 5

Conclusão final: o único valor de m que torna z real e não nulo é m=2.

Resposta

2

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