Determinar p para que z=(2 p+7)+3 i seja imaginário puro. \quad \mathrm{R}:-\frac{7}{2}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=(2p+7)+3i\, e pede para determinar o valor de p para que z seja imaginário puro.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: \,z=(2p+7)+3i\,.
O que é pedido: encontrar p tal que z seja imaginário puro.

Passo 2

Entender o que significa “imaginário puro”.
Um número complexo genérico é escrito como \,a+bi\,, onde \,a\in\mathbb{R}\, é a parte real e \,b\in\mathbb{R}\, é a parte imaginária. Dizemos que o número é imaginário puro quando a sua parte real é zero, ou seja, quando \,a=0.
Exemplo simples: \,0+5i\, é imaginário puro porque a parte real é \,0.

Passo 3

Identificar a parte real do número complexo dado.
No caso \,z=(2p+7)+3i\,, a parte real é \,2p+7\, e a parte imaginária é \,3.

Passo 4

Impor a condição de imaginário puro: a parte real deve ser zero. Assim escrevemos a equação
2p+7=0.

Passo 5

Resolver a equação linear para p. Primeiro isolamos 2p:
2p = -7.
Agora dividimos ambos os lados por 2:
p = -\frac{7}{2}.

Passo 6

Verificação rápida: substituindo p=-\dfrac{7}{2} em \,z=(2p+7)+3i\, obtemos
z = \bigl(2\cdot\bigl(-\tfrac{7}{2}\bigr)+7\bigr)+3i = ( -7 + 7 ) + 3i = 0 + 3i,
que é de fato um imaginário puro. Boa! Conseguimos.

Resposta

-\dfrac{7}{2}

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