Para que valor de x o número complexo
é imaginário puro?
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pergunta: para que valor de
esse número é imaginário puro?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parte real de
é . - A parte imaginária de
é (peguei esse valor do enunciado). - O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de
tal que seja um número imaginário puro.
Passo 2
O que significa “imaginário puro”? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos desenhando no quadro juntos.
- Um número complexo qualquer é escrito como
, onde é a parte real e é a parte imaginária (ambos reais), e é a unidade imaginária com . - Um número é chamado de imaginário puro quando ele tem parte real igual a zero — ou seja, ele tem a forma
com (normalmente exigimos , mas se o número é que é um caso degenerado). - Conclusão útil para resolver o problema: basta fazer a parte real igual a zero. Não precisamos mexer na parte imaginária, exceto verificar que ela não ficou zero se quisermos excluir o caso zero.
Passo 3
Aplicando essa condição ao nosso
: a parte real é
, logo exigimos
Agora resolvemos essa equação linear passo a passo (não pulando etapas):
- Somamos
aos dois lados:
- Dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Antes de fechar, preciso checar a parte imaginária para garantir que o número realmente fica imaginário puro (e não vira
, caso que alguns autores excluem). A parte imaginária é
(conforme o enunciado), e
Portanto, não temos problema: o coeficiente da parte imaginária é diferente de zero.
Passo 5
Verificação substituindo o valor encontrado (na forma que obtivemos) em
:
- Calculo da parte real substituindo
:
- Assim
que é claramente um número da forma
, portanto imaginário puro. (Aqui usei o valor da parte imaginária que peguei do enunciado.)
Passo 6
Exemplos rápidos para consolidar:
-
não é imaginário puro porque a parte real . -
(ou simplesmente ) é imaginário puro porque a parte real é .
Dica para prova: identifique sempre a parte real e force ela a zero quando pedirem “imaginário puro”.