Para que valor de x o número complexo
z=(5 x-10)+8 i é imaginário puro?

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=(5x-10)+8i e pergunta: para que valor de x esse número é imaginário puro?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parte real de z é 5x-10.
  • A parte imaginária de z é 8 (peguei esse valor do enunciado).
  • O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de x tal que z seja um número imaginário puro.

Passo 2

O que significa “imaginário puro”? Vou explicar devagarinho, como se estivéssemos desenhando no quadro juntos.
  • Um número complexo qualquer é escrito como a+bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária (ambos reais), e i é a unidade imaginária com i^2=-1.
  • Um número é chamado de imaginário puro quando ele tem parte real igual a zero — ou seja, ele tem a forma bi com b\in\mathbb{R} (normalmente exigimos b\neq 0, mas se b=0 o número é 0 que é um caso degenerado).
  • Conclusão útil para resolver o problema: basta fazer a parte real igual a zero. Não precisamos mexer na parte imaginária, exceto verificar que ela não ficou zero se quisermos excluir o caso zero.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso z: a parte real é 5x-10, logo exigimos
5x-10=0
Agora resolvemos essa equação linear passo a passo (não pulando etapas):
  • Somamos 10 aos dois lados:
5x = 10
  • Dividimos ambos os lados por 5:
x = \frac{10}{5}

Passo 4

Antes de fechar, preciso checar a parte imaginária para garantir que o número realmente fica imaginário puro (e não vira 0, caso que alguns autores excluem). A parte imaginária é 8 (conforme o enunciado), e
8 \neq 0
Portanto, não temos problema: o coeficiente da parte imaginária é diferente de zero.

Passo 5

Verificação substituindo o valor encontrado (na forma que obtivemos) em z:
  • Calculo da parte real substituindo x=\frac{10}{5}:
5\cdot\frac{10}{5}-10 = 10-10 = 0
  • Assim
z = 0 + 8i = 8i,
que é claramente um número da forma bi, portanto imaginário puro. (Aqui usei o valor da parte imaginária que peguei do enunciado.)

Passo 6

Exemplos rápidos para consolidar:
  • 3+4i não é imaginário puro porque a parte real 3\neq 0.
  • 0+5i (ou simplesmente 5i) é imaginário puro porque a parte real é 0.
    Dica para prova: identifique sempre a parte real e force ela a zero quando pedirem “imaginário puro”.

Resposta

x=2

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