Determinar p, q \in \mathbb{R} de modo que x^{4}+1 seja divisível por x^{2}+p x+q.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os reais (p,q) tais que o polinômio x^{2}+p x+q divide exatamente x^{4}+1.
Informações dadas: o polinômio dividendo é x^{4}+1 (grau 4) e o divisor é um polinômio quadrático x^{2}+p x+q com p,q\in\mathbb{R}.
Observação importante (apenas identificação do que temos): se um polinômio de grau 2 divide um de grau 4, existe outro polinômio de grau 2 tal que o produto dos dois é exatamente x^{4}+1.

Passo 2

Vamos usar a ideia direta: se x^{2}+p x+q divide x^{4}+1, então existem r,s\in\mathbb{R} tais que
(x^{2}+p x+q)(x^{2}+r x+s)=x^{4}+1.
Explicar por que isso vale: divisão exata significa que o quociente é um polinômio sem resto; como o dividendo tem grau 4 e o divisor grau 2, o quociente tem grau 4-2=2. Chamei os coeficientes desse quociente de r e s.

Passo 3

Multiplicamos os dois quadráticos e escrevemos o resultado expandido (mostro passo a passo a multiplicação):
(x^{2}+p x+q)(x^{2}+r x+s)=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+pr+s)x^{2}+(ps+qr)x+qs.
Aqui cada termo vem da combinação de termos: x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}; os coeficientes de x^{3} somam p+r; de x^{2} vêm três produtos e assim por diante. Isso é apenas a regra distributiva (multiplicar termo a termo e somar).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes com o polinômio do lado direito x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1\). Igualando coeficientes obtemos o sistema: \[\begin{cases} p+r = 0,\\[4pt] q + pr + s = 0,\\[4pt] ps + q r = 0,\\[4pt] q s = 1. \end{cases}
Explicação: dois polinômios são iguais se e somente se os coeficientes de cada potência são iguais; por isso igualamos os coeficientes de (x{3},x{2},x] e do termo constante.]

Passo 5

Da primeira equação temos imediatamente
r = -p.
Substituímos r=-p nas demais equações para reduzir o número de incógnitas.

Passo 6

Substituindo r=-p na segunda equação q + pr + s = 0 obtemos
q + p(-p) + s = 0 \quad\Rightarrow\quad q - p^{2} + s = 0,
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s = p^{2}-q.
Expliquei: pr = p\cdot(-p) = -p^{2}, daí isolamos s.

Passo 7

A terceira equação é ps + q r = 0. Substituindo r=-p e a expressão de s dá:
p s + q(-p)=p(s-q)=0.
Isto conduz a duas possibilidades: ou p=0 ou s=q. Vou analisar cada caso separadamente.

Passo 8

Caso 1: p=0. Então r=0 e de s=p^{2}-q segue s=-q. Da última equação q s = 1 temos q(-q)=1, ou seja -q^{2}=1, o que dá q^{2}=-1. Isso é impossível para q\in\mathbb{R}. Portanto não existe solução real com p=0.

Passo 9

Caso 2: s=q. Igualando à expressão de s do Passo 6 obtemos
q = p^{2}-q \quad\Rightarrow\quad 2q = p^{2}\quad\Rightarrow\quad q=\frac{p^{2}}{2}.
Além disso, da última equação q s = 1 com s=q temos q^{2}=1. Então
q^{2}=1\quad\text{e}\quad q=\frac{p^{2}}{2}.
Das duas equações concluímos que q=\pm 1 e substituindo em q=\dfrac{p^{2}}{2} obtemos os possíveis p:
  • Se q=1, então 1=\dfrac{p^{2}}{2}\Rightarrow p^{2}=2\Rightarrow p=\pm\sqrt{2}.
  • Se q=-1, então -1=\dfrac{p^{2}}{2}\Rightarrow p^{2}=-2, impossível em \mathbb{R}.
Portanto, as únicas soluções reais são q=1 com p=\pm\sqrt{2}.

Passo 10

Interpretação pela raiz complexas (intuição extra para decorar na prova): as raízes de x^{4}+1=0 são as quartas raízes de -1, i.e. e^{i\pi/4},e^{i3\pi/4},e^{i5\pi/4},e^{i7\pi/4}. Polinômios quadráticos com coeficientes reais aparecem agrupando raízes conjugadas. Por exemplo, as raízes e^{i\pi/4} e e^{-i\pi/4} têm soma 2\cos(\pi/4)=\sqrt{2} e produto 1, dando o quadrático x^{2}-\sqrt{2}x+1, isto é p=-\sqrt{2},q=1. O outro par e^{i3\pi/4} e e^{-i3\pi/4} x^{2}+\sqrt{2}x+1, ou seja p=+\sqrt{2},q=1. Isso coincide com o que obtivemos por igualdade de coeficientes.

Resposta

(p,q)=\bigl(\sqrt{2},1\bigr)
(p,q)=\bigl(-\sqrt{2},1\bigr)

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