Determinar
de modo que
seja divisível por
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar os reais
tais que o polinômio
divide exatamente
.
Informações dadas: o polinômio dividendo é (grau 4) e o divisor é um polinômio quadrático
com
.
Observação importante (apenas identificação do que temos): se um polinômio de grau 2 divide um de grau 4, existe outro polinômio de grau 2 tal que o produto dos dois é exatamente .
Informações dadas: o polinômio dividendo é
Observação importante (apenas identificação do que temos): se um polinômio de grau 2 divide um de grau 4, existe outro polinômio de grau 2 tal que o produto dos dois é exatamente
Passo 2
Vamos usar a ideia direta: se
divide
, então existem
tais que
Explicar por que isso vale: divisão exata significa que o quociente é um polinômio sem resto; como o dividendo tem grau 4 e o divisor grau 2, o quociente tem grau
. Chamei os coeficientes desse quociente de
e
.
Passo 3
Multiplicamos os dois quadráticos e escrevemos o resultado expandido (mostro passo a passo a multiplicação):
Aqui cada termo vem da combinação de termos:
; os coeficientes de
somam
; de
vêm três produtos e assim por diante. Isso é apenas a regra distributiva (multiplicar termo a termo e somar).
Passo 4
Agora igualamos coeficientes com o polinômio do lado direito
Explicação: dois polinômios são iguais se e somente se os coeficientes de cada potência são iguais; por isso igualamos os coeficientes de (x{3},x{2},x] e do termo constante.]
Passo 5
Da primeira equação temos imediatamente
Substituímos
nas demais equações para reduzir o número de incógnitas.
Passo 6
Substituindo
na segunda equação
obtemos
logo
Expliquei:
, daí isolamos
.
Passo 7
A terceira equação é
. Substituindo
e a expressão de
dá:
Isto conduz a duas possibilidades: ou
ou
. Vou analisar cada caso separadamente.
Passo 8
Caso 1:
. Então
e de
segue
. Da última equação
temos
, ou seja
, o que dá
. Isso é impossível para
. Portanto não existe solução real com
.
Passo 9
Caso 2:
. Igualando à expressão de
do Passo 6 obtemos
Além disso, da última equação
com
temos
. Então
Das duas equações concluímos que
e substituindo em
obtemos os possíveis
:
- Se
, então . - Se
, então , impossível em .
Portanto, as únicas soluções reais são
com
.
Passo 10
Interpretação pela raiz complexas (intuição extra para decorar na prova): as raízes de
são as quartas raízes de
, i.e.
. Polinômios quadráticos com coeficientes reais aparecem agrupando raízes conjugadas. Por exemplo, as raízes
e
têm soma
e produto
, dando o quadrático
, isto é
. O outro par
e
dá
, ou seja
. Isso coincide com o que obtivemos por igualdade de coeficientes.