encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P^-1 A P.
(g)
A=[llll3 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal de A. Como A é simétrica, ela admite uma base ortonormal de autovetores e uma matriz ortogonal P tal que
P^-1AP = P^T A P
é diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Note que
A = 3 & 1 [4pt]1 & 3oplus0 & 0[4pt]0 & 0
Logo
det(A-lambda I) = l((3-lambda)^2 -1r),lambda^2 = (lambda-4)(lambda-2),lambda^2
Os autovalores são
lambda1=4, lambda2=2, lambda3=0, lambda4=0]

Passo 3

Encontramos vetores em cada autovalor e os normalizamos:
Para lambda=4, resolvemos (A-4I)v=0 no bloco 2times2:
-1&1[2pt]1&-1x[2pt]y=0implies x=y
Escolhemos v1=(1,1,0,0) e normalizamos:
hat v1=1raiz2(1,1,0,0)
Para lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0:
1&1[2pt]1&1x[2pt]y=0implies y=-x
Tomamos v2=(1,-1,0,0) e normalizamos:
hat v2=1raiz2(1,-1,0,0)
Para lambda=0, o espaço próprio é gerado pelos vetores padrão nas coordenadas 3 e 4, que já são unitários e ortogonais:
hat v3=(0,0,1,0), hat v4=(0,0,0,1)
Como hat v1,hat v2,hat v3,hat v4 é uma base ortonormal, a matriz P cujas colunas são esses vetores é ortogonal.]

Passo 4

Montamos
P=l[hat v1;hat v2;hat v3;hat v4r] = tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0 & 0[4pt] tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2 & 0 & 0[4pt] 0 & 0 & 1 & 0[4pt] 0 & 0 & 0 & 1
Como P é ortogonal, P^-1=P^T e
P^-1AP = P^T A P = diag(4,2,0,0)
]

Resposta

P = tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0 & 0[4pt] tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2 & 0 & 0[4pt] 0 & 0 & 1 & 0[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 , P^-1AP = 4 & 0 & 0 & 0[4pt] 0 & 2 & 0 & 0[4pt] 0 & 0 & 0 & 0[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 ]

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