encontre uma matriz
que diagonaliza
ortogonalmente e determine
.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização ortogonal de
A . Como
A é simétrica, ela admite uma base ortonormal de autovetores e uma matriz ortogonal
P tal que
é diagonal.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A . Note que
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Os autovalores são
Passo 3
Encontramos vetores em cada autovalor e os normalizamos:
Para
lambda=4 , resolvemos
(A-4I)v=0 no bloco
2times2 :
Escolhemos
v1=(1,1,0,0) e normalizamos:
Para
lambda=2 , resolvemos
(A-2I)v=0 :
Tomamos
v2=(1,-1,0,0) e normalizamos:
Para
lambda=0 , o espaço próprio é gerado pelos vetores padrão nas coordenadas
3 e
4 , que já são unitários e ortogonais:
Como
hat v1,hat v2,hat v3,hat v4 é uma base ortonormal, a matriz
P cujas colunas são esses vetores é ortogonal.]
Passo 4
Montamos
Como
P é ortogonal,
P^-1=P^T e
]