Questão 2 Dados A=(2,2,1), r:(x, y, z)=(2,-1,7)+\lambda(0,-3,3) e s: x-2=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-1}{2}.
(a) (1,0 \mathrm{pt}) Determine os pontos B e C da reta r tais que \|A B\|=\|A C\|=3.
(b) (0,5 \mathrm{pt}) Determine o ponto D em r tal que \overrightarrow{A D} seja o menor possível.
(c) (1,0 \mathrm{pt}) Estude a posição relativa das retas r e $s.

Passo 1

O enunciado dá o ponto
\;A=(2,2,1),
a reta
r:\;(x,y,z)=(2,-1,7)+\lambda\,(0,-3,3)
e a reta
s:\;x-2=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-1}{2}.
Pede:
(a) os pontos B,C\in r tais que \|AB\|=\|AC\|=3 (geometria de esfera e reta);
(b) o ponto D\in r que minimiza \|\overrightarrow{AD}\| (projeção ortogonal de A sobre r);
(c) a posição relativa de r e s (paralelas, concorrentes ou reversas).

Passo 2

Para achar B e C parametricamente em r usamos
P(\lambda)=(2,\,-1-3\lambda,\;7+3\lambda).
O vetor \overrightarrow{AP(\lambda)} é
(0,\;-1-3\lambda-2,\;7+3\lambda-1)=(0,\,-3(1+\lambda),\;3(2+\lambda)),
cujo quadrado da distância é
\|\overrightarrow{AP(\lambda)}\|^2 =9\bigl[(1+\lambda)^2+(2+\lambda)^2\bigr].
Queremos \|\overrightarrow{AP(\lambda)}\|=3, ou seja
9\bigl[(1+\lambda)^2+(2+\lambda)^2\bigr]=9 \;\Longrightarrow\;(1+\lambda)^2+(2+\lambda)^2=1.
Isso leva a
2\lambda^2+6\lambda+5=1 \;\Longrightarrow\;\lambda^2+3\lambda+2=0 \;\Longrightarrow\;\lambda=-1,\;-2.
Substituindo em P(\lambda):
B=P(-1)=(2,\,2,\,4), \quad C=P(-2)=(2,\,5,\,1).

Passo 3

O ponto D\in r que minimiza \|\overrightarrow{AD}\| é a projeção de A em r. Tomamos
\;P_0=(2,-1,7) e a direção \mathbf v=(0,-3,3).
O vetor A-P_0=(0,3,-6) e
t=\frac{(A-P_0)\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2} =\frac{0\cdot0+3\cdot(-3)+(-6)\cdot3}{0^2+(-3)^2+3^2} =\frac{-27}{18}=-\tfrac32.
Logo
D=P_0+t\,\mathbf v =(2,-1,7)-\tfrac32(0,-3,3) =(2,\,-1+\tfrac92,\;7-\tfrac92) =(2,\tfrac72,\tfrac52).

Passo 4

Para estudar r e s basta ver se são paralelas ou se se intersectam.
As direções são
\mathbf v_r=(0,-3,3) e \mathbf v_s=(1,-2,2), que não são múltiplos escalares (logo não são paralelas).
Procuramos ponto comum: em r temos x=2 sempre; em s, x=2+t. Igualando dá t=0, e nesse caso
s(0)=(2,5,1),
que coincide com C de antes (obtido em \lambda=-2 em r).
Portanto r e s se cortam no ponto (2,5,1).

Resposta

(a) B=(2,2,4) e C=(2,5,1).
(b) D=(2,\tfrac72,\tfrac52).
(c) As retas r e s não são paralelas e se intersectam em (2,5,1).

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