Questão 2 Dados A=(2,2,1), r:(x, y, z)=(2,-1,7)+\lambda(0,-3,3) e s: x-2=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-1}{2}.
(a) (1,0 \mathrm{pt}) Determine os pontos B e C da reta r tais que \|A B\|=\|A C\|=3.
(b) (0,5 \mathrm{pt}) Determine o ponto D em r tal que \overrightarrow{A D} seja o menor possível.
(c) (1,0 \mathrm{pt}) Estude a posição relativa das retas r e $s.
Passo 1
O enunciado dá o ponto \;A=(2,2,1),
a reta
r:\;(x,y,z)=(2,-1,7)+\lambda\,(0,-3,3)
e a reta
s:\;x-2=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-1}{2}.
Pede:
(a) os pontos B,C\in r tais que \|AB\|=\|AC\|=3 (geometria de esfera e reta);
(b) o ponto D\in r que minimiza \|\overrightarrow{AD}\| (projeção ortogonal de A sobre r);
(c) a posição relativa de r e s (paralelas, concorrentes ou reversas).
O ponto D\in r que minimiza \|\overrightarrow{AD}\| é a projeção de A em r. Tomamos \;P_0=(2,-1,7) e a direção \mathbf v=(0,-3,3).
O vetor A-P_0=(0,3,-6) e
D=P_0+t\,\mathbf v =(2,-1,7)-\tfrac32(0,-3,3) =(2,\,-1+\tfrac92,\;7-\tfrac92) =(2,\tfrac72,\tfrac52).
Passo 4
Para estudar r e s basta ver se são paralelas ou se se intersectam.
As direções são \mathbf v_r=(0,-3,3) e \mathbf v_s=(1,-2,2), que não são múltiplos escalares (logo não são paralelas).
Procuramos ponto comum: em r temos x=2 sempre; em s, x=2+t. Igualando dá t=0, e nesse caso
s(0)=(2,5,1),
que coincide com C de antes (obtido em \lambda=-2 em r).
Portanto r e s se cortam no ponto (2,5,1).
Resposta
(a) B=(2,2,4) e C=(2,5,1).
(b) D=(2,\tfrac72,\tfrac52).
(c) As retas r e s não são paralelas e se intersectam em (2,5,1).