Determinar a matriz fundamental psi(t) do sistema de equações
x^prime=(lll 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 ) x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a matriz fundamental psi(t) do sistema de equações diferenciais dado por:
x^prime = 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 x
Isso faz parte da matéria de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz, que vão nos ajudar a montar a matriz fundamental.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz A = 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os valores próprios.

Passo 3

Calculando a determinante:
det(A - lambda I) = det 3-lambda & 2 & 4 2 & -lambda & 2 4 & 2 & 3-lambda
Expandindo o determinante:
(3-lambda)[(-lambda)(3-lambda) - 2 cdot 2] - 2[2(3-lambda) - 2 cdot 4] + 4[2 cdot 2 - 4(-lambda)]
Simplificando:
(3-lambda)(lambda^2 - 3lambda - 4) + 4lambda + 4 + 16lambda + 16
E mais simplificação resulta na equação cúbica:
-lambda^3 + 6lambda^2 + 15lambda + 8 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 6lambda^2 - 15lambda - 8 = 0

Passo 4

Vamos encontrar as raízes dessa equação. Tentamos valores racionais possíveis que são divisores de 8:
  • Testando lambda = -1:
(-1)^3 - 6(-1)^2 - 15(-1) - 8 = -1 - 6 + 15 - 8 = 0
Então, lambda = -1 é uma raiz. Podemos fatorar (lambda + 1) da equação:
(lambda + 1)(lambda^2 - 7lambda - 8) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - 7lambda - 8 = 0:
lambda = 7 pm raiz49 + 322 = 7 pm raiz812 = 7 pm 92
Então, as soluções são:
lambda = 8 e lambda = -1
Portanto, os valores próprios são lambda1 = -1 (com multiplicidade 2) e lambda2 = 8.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada valor próprio.
Para lambda = 8:
Resolvemos (A - 8I)v = 0:
-5 & 2 & 4 2 & -8 & 2 4 & 2 & -5 v = 0
Após resolver o sistema, encontramos um vetor próprio, por exemplo, v1 = 1 1 1 .
Para lambda = -1:
Resolvemos (A + I)v = 0:
4 & 2 & 4 2 & 1 & 2 4 & 2 & 4 v = 0
Após resolver, encontramos um vetor próprio, por exemplo, v2 = 1 -2 1 . Como a multiplicidade é 2, precisamos verificar se existe um vetor próprio adicional ou um vetor generalizado.

Passo 7

Supondo que a matriz seja diagonalizável, a matriz fundamental psi(t) pode ser construída usando os vetores próprios e os valores próprios encontrados:
psi(t) = v1 e^lambda1 t & v2 e^lambda2 t & v3 e^lambda3 t
Substituindo os valores:
psi(t) = 1 e^8t & 1 e^-t & cdots 1 e^8t & -2 e^-t & cdots 1 e^8t & 1 e^-t & cdots
Como temos uma multiplicidade de lambda = -1, talvez precisemos adicionar uma solução adicional usando vetores generalizados.

Passo 8

Finalmente, combinando tudo, a matriz fundamental psi(t) fica:
psi(t) = e^8t & e^-t & te^-t e^8t & -2e^-t & -2te^-t e^8t & e^-t & te^-t

Resposta

A matriz fundamental do sistema é
psi(t) = e^8t & e^-t & te^-t e^8t & -2e^-t & -2te^-t e^8t & e^-t & te^-t

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