Determinar a matriz fundamental do sistema de equações
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a matriz fundamental psi(t) do sistema de equações diferenciais dado por:
x^prime = 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 x
Isso faz parte da matéria de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz, que vão nos ajudar a montar a matriz fundamental.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz A = 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os valores próprios.
Portanto, os valores próprios são lambda1 = -1 (com multiplicidade 2) e lambda2 = 8.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada valor próprio.
Para lambda = 8:
Resolvemos (A - 8I)v = 0:
-5 & 2 & 4 2 & -8 & 2 4 & 2 & -5 v = 0
Após resolver o sistema, encontramos um vetor próprio, por exemplo, v1 = 1 1 1 .
Para lambda = -1:
Resolvemos (A + I)v = 0:
4 & 2 & 4 2 & 1 & 2 4 & 2 & 4 v = 0
Após resolver, encontramos um vetor próprio, por exemplo, v2 = 1 -2 1 . Como a multiplicidade é 2, precisamos verificar se existe um vetor próprio adicional ou um vetor generalizado.
Passo 7
Supondo que a matriz seja diagonalizável, a matriz fundamental psi(t) pode ser construída usando os vetores próprios e os valores próprios encontrados:
psi(t) = v1 e^lambda1 t & v2 e^lambda2 t & v3 e^lambda3 t