Determinar a matriz inversa da matriz:
A=[lll2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3]

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de uma matriz 3times3:
A = 2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3
O conteúdo que vamos usar é a fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde det(A) é o determinante de A e adj(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =2cdotdet!2&25&3 -1cdotdet!4&22&3 +3cdotdet!4&22&5
Cada menor vale
det!2&25&3 =2cdot3-2cdot5=-4, det!4&22&3 =4cdot3-2cdot2=8, det!4&22&5 =4cdot5-2cdot2=16
Logo
det(A)=2cdot(-4)-1cdot8+3cdot16=-8-8+48=32

Passo 3

Formar a matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij = (-1)^i+j detl(A sem linha i e coluna jr)
Calculando cada quarto cofactor:
C11 = +(-4) = -4, C12 = -8mapsto -8, C13 = +16,
C21 = -(-12)=12, C22 = +(0)=0, C23 = -(8)=-8,
C31 = +(-4)=-4, C32 = -(-8)=8, C33 = +(0)=0
Portanto
C = -4 & -8 & 16 12 & 0 & -8 -4 & 8 & 0

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C:
adj(A) = C^T = -4 & 12 & -4 -8 & 0 & 8 16 & -8 & 0

Passo 5

Finalmente
A^-1 = 132,adj(A) = 132 -4 & 12 & -4 -8 & 0 & 8 16 & -8 & 0 ,
e simplificando as frações linha a linha:

Resposta

A^-1 = -tfrac18 & tfrac38 & -tfrac18 -tfrac14 & 0 & tfrac14 tfrac12 & -tfrac14 & 0

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