Prove que:
para
vale que
.
para
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em aritmética de Peano, para todo
vale
Vamos usar o princípio da indução sobre
e as definições de soma:
Passo 2
Caso base
. Usando as definições acima:
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Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para um dado
tenhamos
Queremos mostrar
Começamos calculando
pela definição de soma com sucessor:
Como
pela hipótese de indução, segue
Por outro lado, pela definição de soma com sucessor,
Portanto
completando o passo indutivo.
Resposta
Pela indução, para todo
vale