Prove que:
para m in N vale que m+1=1+m.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em aritmética de Peano, para todo m in N vale
m+1 = 1 + m
Vamos usar o princípio da indução sobre m e as definições de soma:
a + 0 = a, a + S(b) = Sl(a + br), 1 = S(0)

Passo 2

Caso base m=0. Usando as definições acima:
0 + 1 = 0 + S(0) = Sl(0 + 0r) = S(0) = 1,
1 + 0 = S(0) + 0 = S(0) = 1
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0 + 1 = 1 + 0

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para um dado m tenhamos
m + 1 = 1 + m
Queremos mostrar
S(m) + 1 = 1 + S(m)
Começamos calculando S(m)+1 pela definição de soma com sucessor:
S(m) + 1 = S(m) + S(0) = Sl(S(m) + 0r) = Sl(S(m)r) = S(m+1)
Como m+1 = 1 + m pela hipótese de indução, segue
S(m) + 1 = Sl(1 + mr)
Por outro lado, pela definição de soma com sucessor,
1 + S(m) = Sl(1 + mr)
Portanto
S(m) + 1 = 1 + S(m),
completando o passo indutivo.

Resposta

Pela indução, para todo m in N vale
m + 1 = 1 + m

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