Determinar a matriz inversa da matriz:
S=[lll-1 & -1 & -1 -3 & -3 & -4 -3 & -4 & -3]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
S = -1 & -1 & -1 -3 & -3 & -4 -3 & -4 & -3
e pede S^-1. Vamos usar a fórmula
S^-1 = 1det(S),adj(S),
então precisamos calcular primeiro det(S) e depois a matriz de cofatores (para obter a adjunta).

Passo 2

Usando expansão de Laplace pela primeira linha, definimos os menores:
M11=det-3 & -4-4 & -3 =9-16=-7, M12=det-3 & -4-3 & -3 =9-12=-3,
M13=det-3 & -3-3 & -4 =12-9=3
Os cofatores correspondentes são
,C11=(-1)^2M11=-7,
,C12=(-1)^3M12=3,
,C13=(-1)^4M13=3
Logo
det(S) = a11C11+a12C12+a13C13 =(-1)(-7)+(-1)(3)+(-1)(3) =7-3-3=1

Passo 3

Agora calculamos os demais menores e cofatores:
i=2,j=1:
M21=det-1 & -1-4 & -3 =3-4=-1, C21=(-1)^3(-1)=1
i=2,j=2:
M22=det-1 & -1-3 & -3 =3-3=0, C22=(-1)^40=0
i=2,j=3:
M23=det-1 & -1-3 & -4 =4-3=1, C23=(-1)^51=-1
i=3,j=1:
M31=det-1 & -1-3 & -4 =4-3=1, C31=(-1)^41=1
i=3,j=2:
M32=det-1 & -1-3 & -4 =4-3=1, C32=(-1)^51=-1
i=3,j=3:
M33=det-1 & -1-3 & -3 =3-3=0, C33=(-1)^60=0
A matriz de cofatores é
-7 & 3 & 3 1 & 0 & -1 1 & -1 & 0

Passo 4

A adjunta de S é a transposta da matriz de cofatores:
adj(S) = -7 & 1 & 1 3 & 0 & -1 3 & -1 & 0
Como det(S)=1, temos
S^-1 = adj(S)

Resposta

S^-1 = -7 & 1 & 1 3 & 0 & -1 3 & -1 & 0

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