Mostre que
é um conjunto enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é enumerável, ou seja, que existe uma bijeção entre
e
. O conteúdo da matéria envolve cardinalidade de conjuntos e definição de conjunto enumerável (contável).
Passo 2
Uma construção clássica é a chamada função de emparelhamento de Cantor. Definimos
Mostraremos que
é bijetora, o que implica que
tem a mesma cardinalidade de
.
Passo 3
Para provar que
é injetora, suponha
Note que o termo
cresce estritamente com
. Se
, teríamos duas somas triangulares distintas, logo
. Portanto deve ocorrer
. Subtraindo dos dois lados a mesma soma triangular, obtemos
e, consequentemente,
. Assim
é injetora.
Passo 4
Para provar que
é sobrejetora, seja
. Escolhemos
tal que
Definimos então
Pelo modo de escolha de
, ambos
e
são naturais e
Logo todo
tem um antecessor
, provando que
é sobrejetora.
Resposta
Como
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto existe bijeção entre
e
, isto é,
é enumerável.