Determinar se a matriz é invertível, nesse caso encontrar a inversa
[ccc1 & -2 & -3 0 & 3 & 4 0 & 0 & 5]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz triangular superior
A= 1 & -2 & -3 0 & 3 & 4 0 & 0 & 5
e pede para determinar se A é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. Vamos usar dois pontos da teoria:
  1. Uma matriz triangular é invertível se, e somente se, todos os elementos da diagonal forem não nulos (pois o determinante é o produto desses elementos).
  2. Para calcular a inversa, podemos resolver a matriz-equação
A X = I
coluna a coluna, usando substituição regressiva.

Passo 2

Calculamos o determinante de A como o produto dos elementos da diagonal:
det(A)=1cdot3cdot5=15neq0
Como det(A)neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Seja
X=A^-1= x11 & x12 & x13 x21 & x22 & x23 x31 & x32 & x33
Como A é triangular superior, sua inversa também o é, logo
x21=x31=x32=0
Agora impomos A,X=I coluna a coluna. Para a primeira coluna de X temos
Ax1100 =100
Dessa equação segue imediatamente
x11=1

Passo 4

Para a segunda coluna de resolvemos
Escrevendo as linhas:
  1. ,
  2. .
    Da segunda equação vem . Substituindo na primeira,

Passo 5

Para a terceira coluna de resolvemos
Das linhas obtemos:
  1. ,
  2. ,
  3. .
    Da terceira equação vem . Na segunda,
Finalmente, na primeira,

Resposta

A matriz A é invertível e sua inversa é
A^-1= 1 & tfrac23 & tfrac115 0 & tfrac13 & -tfrac415 0 & 0 & tfrac15

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