Para as seguintes matrizes, encontrar A^1000.
A=[ll-3 & 4 -1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar A^1000 , onde A é a matriz:
A = -3 & 4 -1 & 2
Para resolver isso, vamos usar conceito de potências de matrizes, especificamente diagonalização. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz A , e então usar essas informações para simplificar o cálculo da potência elevada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores lambda são encontrados resolvendo o polinômio característico da matriz, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o polinômio característico:
det( -3 - lambda & 4 -1 & 2 - lambda ) = (-3 - lambda)(2 - lambda) - (4)(-1) = 0
Simplificando:
(-3 - lambda)(2 - lambda) + 4 = 0
( -6 + 3lambda - 2lambda + lambda^2 ) + 4 = 0
lambda^2 + lambda - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 + lambda - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = -2

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 1 , resolvemos (A - I)v = 0 :
-4 & 4 -1 & 1 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá v1 = v2 . Então, um autovetor é:
v1 = 1 1
Para lambda2 = -2 , resolvemos (A + 2I)v = 0 :
-1 & 4 -1 & 4 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá v1 = 4v2 . Então, um autovetor é:
v2 = 4 1

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz A . Escrevemos A = PDP^-1 , onde:
P = 1 & 4 1 & 1 , D = 1 & 0 0 & -2
E P^-1 é a inversa de P .

Passo 7

Para calcular A^1000 , usamos a propriedade da diagonalização:
A^1000 = (PDP^-1)^1000 = PD^1000P^-1
Como D é diagonal, D^1000 é simplesmente cada elemento da diagonal elevado a 1000:
D^1000 = 1^1000 & 0 0 & (-2)^1000 = 1 & 0 0 & 2^1000

Passo 8

Agora, calculamos o produto PD^1000P^-1 . Primeiro, precisamos encontrar P^-1 :
P^-1 = 1(1)(1) - (4)(1) 1 & -4 -1 & 1 = 1-3 1 & -4 -1 & 1 = -13 & 43 13 & -13

Passo 9

Finalmente, multiplicamos as matrizes:
A^1000 = P D^1000 P^-1 = 1 & 4 1 & 1 1 & 0 0 & 2^1000 -13 & 43 13 & -13
Fazendo as multiplicações, obtemos:
A^1000 = (1)(-1/3) + (4)(1/3) & (1)(4/3) + (4)(-1/3) (1)(-1/3) + (1)(1/3 cdot 2^1000) & (1)(4/3) + (1)(-1/3 cdot 2^1000)
Simplificando:
A^1000 = 33 & 03 -1 + 2^10003 & 4 - 2^10003 = 1 & 0 2^1000 - 13 & 4 - 2^10003

Resposta

A matriz A^1000 é:
A^1000 = 1 & 0 dfrac2^1000 - 13 & dfrac4 - 2^10003

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