Mostre que para qualquer número real theta a matriz
[ccc sen theta & cos theta & 0 cos theta & -sen theta & 0 0 & 0 & 1 ]
é invertível e encontre sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo real theta, a matriz
A(theta)= sintheta & costheta & 0 costheta & -sintheta & 0 0 & 0 & 1
é invertível e para encontrar A(theta)^-1. O conteúdo necessário é cálculo de determinante para testar invertibilidade e cálculo de inversa de matriz.

Passo 2

Para testar se A(theta) é invertível, calculamos det A(theta). Como é matricial bloco-diagonal em 2times 2 e 1times 1, temos
det A(theta) =detsintheta&costhetacostheta&-sinthetacdotdet(1) =-sin^2theta-cos^2theta =-1,
que é sempre diferente de zero. Logo A(theta) é invertível para todo real theta.

Passo 3

Para encontrar a inversa, notamos que o bloco M=sintheta&costhetacostheta&-sintheta satisfaz
M^2 =sin^2theta+cos^2theta&00&cos^2theta+sin^2theta =1&00&1
Assim M^-1=M. Como o último pivô é 1 e não interfere, concluímos que
A(theta)^2=I3 Longrightarrow A(theta)^-1=A(theta)

Resposta

A(theta)^-1 = sintheta & costheta & 0 costheta & -sintheta & 0 0 & 0 & 1

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