Suponha que
. Então mostre que:
é um autovalor de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
e um vetor
que satisfaz a equação
. Isso significa que
é um autovalor de
e
é o autovetor correspondente. O que a questão quer é que a gente mostre que
também é um autovalor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, e como as matrizes se comportam quando elevadas a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Dada uma matriz
, se existe um vetor não nulo
tal que
, então
é um autovalor de
e
é o autovetor associado a
. Isso basicamente diz que, ao aplicar a matriz
no vetor
, o resultado é apenas o vetor
escalado pelo fator
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz
, que é a matriz
multiplicada por ela mesma (
). Queremos mostrar que
é um autovalor de
. Ou seja, precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Passo 4
Vamos começar aplicando
duas vezes no vetor
. Primeiro, sabemos que
. Agora, vamos aplicar
novamente no resultado:
Passo 5
Usando a propriedade de que matrizes são lineares, podemos tirar a constante
para fora da multiplicação:
Passo 6
Já sabemos que
, então substituímos na expressão:
Passo 7
Então, ao aplicar
duas vezes no vetor
, temos:
Isso mostra que
é um autovalor de
, já que existe um vetor
(o mesmo autovetor de
) que satisfaz essa relação.
Resposta
Portanto, mostramos que
é um autovalor de
.