Suponha que A v=lambda v. Então mostre que:
lambda^2 é um autovalor de A^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A e um vetor v que satisfaz a equação A v = lambda v . Isso significa que lambda é um autovalor de A e v é o autovetor correspondente. O que a questão quer é que a gente mostre que lambda^2 também é um autovalor de A^2 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, e como as matrizes se comportam quando elevadas a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Dada uma matriz A , se existe um vetor não nulo v tal que A v = lambda v , então lambda é um autovalor de A e v é o autovetor associado a lambda . Isso basicamente diz que, ao aplicar a matriz A no vetor v , o resultado é apenas o vetor v escalado pelo fator lambda .

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz A^2 , que é a matriz A multiplicada por ela mesma ( A times A ). Queremos mostrar que lambda^2 é um autovalor de A^2 . Ou seja, precisamos encontrar um vetor v tal que A^2 v = lambda^2 v .

Passo 4

Vamos começar aplicando A duas vezes no vetor v . Primeiro, sabemos que A v = lambda v . Agora, vamos aplicar A novamente no resultado:
A (A v) = A (lambda v)

Passo 5

Usando a propriedade de que matrizes são lineares, podemos tirar a constante lambda para fora da multiplicação:
A (lambda v) = lambda (A v)

Passo 6

Já sabemos que A v = lambda v , então substituímos na expressão:
lambda (A v) = lambda (lambda v) = lambda^2 v

Passo 7

Então, ao aplicar A duas vezes no vetor v , temos:
A^2 v = lambda^2 v
Isso mostra que lambda^2 é um autovalor de A^2 , já que existe um vetor v (o mesmo autovetor de A ) que satisfaz essa relação.

Resposta

Portanto, mostramos que lambda^2 é um autovalor de A^2 .

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