Determinar se a matriz é invertível, nesse caso encontrar a inversa
[llll3 & 4 & 0 & 0 2 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 3 & 4]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
M = 3 & 4 & 0 & 0 2 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 3 & 4 ,
e queremos verificar se M é invertível e, em caso afirmativo, calcular M^-1. O conteúdo principal é usar propriedades de matrizes em bloco e a fórmula de inversão de matrizes 2times2.

Passo 2

Observamos que M é uma matriz em bloco diagonal, ou seja,
M = A & 0 0 & B
com
A = 3 & 4 2 & 3, B = 2 & 3 3 & 4
Isso simplifica o problema, pois M é invertível se e somente se A e B forem invertíveis, e
M^-1 = A^-1 & 0 0 & B^-1

Passo 3

Calculamos os determinantes de cada bloco para testar invertibilidade. Para uma matriz 2times2
deta & b c & d = ad - bc
Logo,
det(A) = 3cdot3 - 4cdot2 = 9 - 8 = 1,
det(B) = 2cdot4 - 3cdot3 = 8 - 9 = -1
Como det(A)neq0 e det(B)neq0, ambos os blocos são invertíveis, logo M também é invertível.

Passo 4

Usamos a fórmula da inversa de matrizes 2times2:
a & b c & d^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Aplicando em A:
A^-1 = 11 3 & -4 -2 & 3 = 3 & -4 -2 & 3
E em B:
B^-1 = 1-1 4 & -3 -3 & 2 = -4 & 3 3 & -2

Passo 5

Como M^-1 é a matriz em bloco diagonal com A^-1 em cima à esquerda e B^-1 em baixo à direita, segue
M^-1 = 3 & -4 & 0 & 0 -2 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & 3 0 & 0 & 3 & -2

Resposta

A matriz é invertível e
M^-1 = 3 & -4 & 0 & 0 -2 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & 3 0 & 0 & 3 & -2

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