Supondo que
|lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 |=8
Calcule os seguintes determinantes
|ccca21 & a22 & a23 a11 & a12 & a13 2 a31 & 2 a32 & 2 a33|
|ccc2 a11-3 a21 & 2 a12-3 a22 & 2 a13-3 a23 a31 & a32 & a33 a21 & a22 & a23|

Passo 1

O enunciado fornece
det A = 8,
onde
A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33
e pede os determinantes
D1 = a21 & a22 & a23 a11 & a12 & a13 2a31 & 2a32 & 2a33 e D2 = 2a11-3a21 & 2a12-3a22 & 2a13-3a23 a31 & a32 & a33 a21 & a22 & a23
Vamos usar propriedades de determinantes: troca de linhas (muda sinal), multiplicação de linha por escalar e linearidade em uma linha.

Passo 2

Para D1, basta ver que partimos de A e aplicamos duas operações:
1. trocamos a linha 1 com a linha 2 Rightarrow multiplica por -1;
2. multiplicamos a nova linha 3 por 2 Rightarrow multiplica por 2.
Logo
D1 = (-1)times 2 times det A = -2cdot 8 = -16

Passo 3

Para D2, note que a primeira linha é 2,(linha 1 de A) - 3,(linha 2 de A). Pela linearidade em uma linha,
D2 = 2 a11 & a12 & a13 a31 & a32 & a33 a21 & a22 & a23 - 3 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a21 & a22 & a23
O segundo determinante é zero (duas linhas iguais). No primeiro, permutamos as linhas 2 e 3 de A, o que inverte o sinal:
a11 & a12 & a13 a31 & a32 & a33 a21 & a22 & a23 = -det A = -8
Assim
D2 = 2 cdot (-8) = -16

Resposta

a21 & a22 & a23 a11 & a12 & a13 2a31 & 2a32 & 2a33 = -16,
2a11-3a21 & 2a12-3a22 & 2a13-3a23 a31 & a32 & a33 a21 & a22 & a23 = -16

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