(i) Determine uma equação da reta que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano e intersecta a reta .
(ii) Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta , e é perpendicular ao plano .
Passo 1
O problema tem duas partes.
(i) Queremos a reta que passa pela origem , intersecta a reta
e é paralela ao plano . Para isso vamos parametrizar , impor que o vetor diretor de seja ortogonal ao normal de e achar o ponto de interseção.
(ii) Queremos o plano que passa por , é paralelo à reta
e é perpendicular ao plano
Para isso vamos construir o normal de como vetorial entre o vetor diretor de e o normal de , e então usar .
Passo 2
Parametrizamos por um parâmetro . Da forma
segue
Um ponto genérico em é
Passo 3
Como passa em e em , seu vetor diretor pode ser . A condição de paralelo ao plano pi1 com normal n1=(3,-2,1) é
Logo o vetor diretor de s é proporcional a l(9,17,7r) e, como s passa pela origem, uma equação paramétrica é
s:;(x,y,z)=lambda,(9,17,7), lambdainR,
ou, de forma simétrica,
x9 = y17 = z7
Passo 5
Para o plano alpha precisamos de um normal nalpha que seja perpendicular ao normal de pi2, n2=(1,-1,2), e também perpendicular ao vetor diretor de r, u=(1,2,-1). Assim
nalpha = n2 times u = i&j&k 1 & -1 & 2 1 & 2 & -1 =(-3,,3,,3),
ou, multiplicando por -1,
nalpha=(3,-3,-3)
Passo 6
Usando nalpha=(3,-3,-3) e o ponto P(2,1,3), a equação geral de alpha é
3(x-2)-3(y-1)-3(z-3)=0
Dividindo por 3 e simplificando, obtemos
x - y - z + 2 = 0
Resposta
(i) s:;(x,y,z)=lambda,(9,17,7), lambdainR
(ii) alpha:x - y - z + 2 = 0