(i) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano pi: 3 x-2 y+z-2=0 e intersecta a reta r: x-1=y+23=z.
(ii) Ache uma equação geral do plano alpha que passa pelo ponto P(2,1,3), é paralelo à reta r:(x, y, z)=(1,2,3)+h(1,2,-1), h in R, e é perpendicular ao plano pi: x-y+2 z-4=0.

Passo 1

O problema tem duas partes.
(i) Queremos a reta s que passa pela origem O(0,0,0), intersecta a reta
r:;x-1=y+23=z
e é paralela ao plano pi1:3x-2y+z-2=0. Para isso vamos parametrizar r, impor que o vetor diretor de s seja ortogonal ao normal de pi1 e achar o ponto de interseção.
(ii) Queremos o plano alpha que passa por P(2,1,3), é paralelo à reta
r:(x,y,z)=(1,2,3)+h,(1,2,-1)
e é perpendicular ao plano
pi2:x-y+2z-4=0
Para isso vamos construir o normal de alpha como vetorial entre o vetor diretor de r e o normal de pi2, e então usar P.

Passo 2

Parametrizamos r por um parâmetro t. Da forma
x-1 = t, y+23=t, z=t
segue
r:;(x,y,z)=(1,-2,0)+t,(1,3,1)
Um ponto genérico em r é
A(t)=(1+t,,-2+3t,;t)

Passo 3

Como s passa em O e em A(t), seu vetor diretor pode ser OA(t)=(1+t,,-2+3t,;t). A condição de paralelo ao plano pi1 com normal n1=(3,-2,1) é
OA(t)cdot n1=0
Calculamos
(1+t)cdot3 +(-2+3t)cdot(-2) + tcdot1 =3+3t +4-6t +t =7 -2t = 0
,Rightarrow,t=tfrac72

Passo 4

Com t=tfrac72 obtemos
Al(tfrac72r) =l(1+tfrac72,,-2+3cdottfrac72,,tfrac72r) =l(tfrac92,,tfrac172,,tfrac72r)
Logo o vetor diretor de s é proporcional a l(9,17,7r) e, como s passa pela origem, uma equação paramétrica é
s:;(x,y,z)=lambda,(9,17,7), lambdainR,
ou, de forma simétrica,
x9 = y17 = z7

Passo 5

Para o plano alpha precisamos de um normal nalpha que seja perpendicular ao normal de pi2, n2=(1,-1,2), e também perpendicular ao vetor diretor de r, u=(1,2,-1). Assim
nalpha = n2 times u = i&j&k 1 & -1 & 2 1 & 2 & -1 =(-3,,3,,3),
ou, multiplicando por -1,
nalpha=(3,-3,-3)

Passo 6

Usando nalpha=(3,-3,-3) e o ponto P(2,1,3), a equação geral de alpha é
3(x-2)-3(y-1)-3(z-3)=0
Dividindo por 3 e simplificando, obtemos
x - y - z + 2 = 0

Resposta

(i) s:;(x,y,z)=lambda,(9,17,7), lambdainR
(ii) alpha:x - y - z + 2 = 0

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