Seja A=[ll0 & 2 1 & 1].
(a) Ache os autovalores de A e de A^-1.
(b) Quais são os autovalores correspondentes?

Passo 1

O enunciado pede (a) os autovalores de A e de A^-1 e (b) o pareamento de quais autovalores de A^-1 correspondem aos de A. Vamos usar a definição de autovalor e a propriedade de que, se A é invertível, os autovalores de A^-1 são os inversos dos autovalores de A.

Passo 2

Para achar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det-lambda & 2 [6pt] 1 & 1-lambda = (-lambda)(1-lambda) - 2 cdot 1 = lambda^2 - lambda - 2
As raízes de lambda^2 - lambda - 2 = 0 são
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
logo os autovalores de A são
lambda1 = 2, lambda2 = -1
]

Passo 3

Como det Aneq0, A é invertível e os autovalores de A^-1 são os inversos dos autovalores de A. Assim,
mu1=1lambda1=12, mu2=1lambda2=-1

Passo 4

Cada autovalor de A gera um autovalor de A^-1 pelo recíproco, mantendo o mesmo autovetor. Portanto o pareamento é
lambda1=2long<=ftrightarrowmu1=tfrac12, lambda2=-1long<=ftrightarrowmu2=-1

Resposta

(a) Os autovalores de A são 2 e -1; os de A^-1 são tfrac12 e -1.
(b) Correspondem entre si pelos recíprocos:
;2rightarrowtfrac12 ;-1rightarrow-1

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