Seja [ll1 & 1 0 & 1] a matriz de um operador de R^2. Ache os autovalores de T. Existem neste caso, dois autovetores L.I. ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 0 & 1
de um operador Tcolon R^2toR^2. Precisamos achar os autovalores de T (raízes do polinômio característico) e verificar se existem dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Para obter o polinômio característico, calculamos
det(A - lambda I) =det!1-lambda & 1 0 & 1-lambda =(1-lambda)(1-lambda) =(1-lambda)^2
Logo o único autovalor (com multiplicidade algébrica 2) é lambda=1.

Passo 3

Agora achamos o autovetor associado a lambda=1. Resolvemos
(A - I)x = 0 Longrightarrow 0 & 1 0 & 0 x1 x2 = 0 0
A primeira linha dá 0cdot x1 + 1cdot x2 =0, ou seja x2=0. Não há restrição sobre x1. Portanto o espaço próprio é
E1 = (x1,0)mid x1inR,
que tem dimensão 1.

Passo 4

Como a dimensão do espaço próprio de lambda=1 é 1, há apenas um autovetor (a menos de múltiplo escalar). Não é possível encontrar dois autovetores linearmente independentes, pois isso exigiria dimensão 2 no espaço próprio.

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e a multiplicidade geométrica é 1, logo não existem dois autovetores linearmente independentes.

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