Determinar um múltiplo de 19 e um múltiplo de 17 cuja diferença seja 5 .

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache dois números, um múltiplo de 19 e um múltiplo de 17, de modo que a diferença entre eles seja 5. Vamos usar equações diofantinas e congruências para resolver isso.

Passo 2

Vamos chamar de x o quociente de 19 e de y o quociente de 17. Se o múltiplo de 19 é 19x e o múltiplo de 17 é 17y, queremos que

Passo 3

17y - 19x = 5,

Passo 4

ou seja, a diferença 17y - 19x seja 5. Para resolver isso, transformamos em uma congruência módulo 19:

Passo 5

17y equiv 5 pmod19

Passo 6

Aqui a ideia é achar um y que satisfaça essa congruência. Precisamos do inverso de 17 módulo 19. Pelo algoritmo de Euclides estendido vemos que 17·9 = 153 ≡ 1 mod 19, então

Passo 7

9 é o inverso de 17 módulo 19. Multiplicando ambos os lados da congruência por 9, temos

Passo 8

y equiv 9 cdot 5 = 45 equiv 45 - 2cdot19 = 7 pmod19

Passo 9

Logo podemos escolher y = 7. Substituindo em 17y - 19x = 5 para achar x:

Passo 10

17cdot7 - 19x = 5 implies 119 - 19x = 5 implies 19x = 114 implies x = 6

Passo 11

Portanto o múltiplo de 17 é 17cdot7 = 119 e o múltiplo de 19 é 19cdot6 = 114, e realmente

Passo 12

119 - 114 = 5

Resposta

Um exemplo é 119 (múltiplo de 17) e 114 (múltiplo de 19), cuja diferença é 5.

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