Determinar um múltiplo de 19 e um múltiplo de 17 cuja diferença seja 5 .
Passo 1
O enunciado quer que a gente ache dois números, um múltiplo de 19 e um múltiplo de 17, de modo que a diferença entre eles seja 5. Vamos usar equações diofantinas e congruências para resolver isso.
Passo 2
Vamos chamar de
o quociente de 19 e de
o quociente de 17. Se o múltiplo de 19 é
e o múltiplo de 17 é
, queremos que
Passo 3
Passo 4
ou seja, a diferença
seja 5. Para resolver isso, transformamos em uma congruência módulo 19:
Passo 5
Passo 6
Aqui a ideia é achar um
que satisfaça essa congruência. Precisamos do inverso de 17 módulo 19. Pelo algoritmo de Euclides estendido vemos que 17·9 = 153 ≡ 1 mod 19, então
Passo 7
Passo 8
Passo 9
Logo podemos escolher
. Substituindo em
para achar
:
Passo 10
Passo 11
Portanto o múltiplo de 17 é
e o múltiplo de 19 é
, e realmente
Passo 12
Resposta
Um exemplo é 119 (múltiplo de 17) e 114 (múltiplo de 19), cuja diferença é 5.