Determinar se S é ou não subespaço de V=R^3, onde S é o conjunto de vetores (x, y, z) in R^3 tais que:
x y=0,

Passo 1

O enunciado define
V = R^3
e
S = (x,y,z)in R^3 mid x,y = 0
Queremos verificar se S é subespaço de V. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. o vetor zero de V pertence a S,
  2. S é fechado sob multiplicação por escalar,
  3. S é fechado sob soma de vetores.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
(0,0,0)in S?
Como 0cdot 0 = 0, de fato (0,0,0) satisfaz a condição x,y=0. Logo, o vetor zero está em S.

Passo 3

Verificamos a multiplicação por escalar. Seja alphainR e (x,y,z)in S, ou seja, x,y=0. Então
alpha,(x,y,z) = (alpha x,;alpha y,;alpha z),
e o produto das duas primeiras coordenadas é
(alpha x),(alpha y) = alpha^2,(x,y) = alpha^2cdot 0 = 0
Portanto alpha(x,y,z)in S, e S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Verificamos a soma de vetores. Tomemos por exemplo
u = (1,0,0)in S e v = (0,1,0)in S,
pois em ambos x,y = 0. Entretanto,
u + v = (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0),
e para este vetor (1,1,0) temos
1 cdot 1 = 1 neq 0,
logo (1,1,0)notin S. Isso mostra que S não é fechado sob soma.

Passo 5

Como S falha na propriedade de fechamento sob soma, concluímos que S não é subespaço de R^3.

Resposta

S não é subespaço de R^3.

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