Determinar se S é ou não subespaço de V=R^3, onde S é o conjunto de vetores (x, y, z) in R^3 tais que:
k1 x+k2 y+k3 z=0.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid k1x + k2y + k3z = 0,
onde k1,k2,k3 são constantes em R.
Para mostrar que S é subespaço de V, vamos usar a definição:
  1. 0in S.
  2. se u,vin S então u+vin S.
  3. se uin S e alphainR então alpha uin S.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo 0=(0,0,0). Substituindo na equação:
k1cdot 0 + k2cdot 0 + k3cdot 0 = 0,
logo 0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos
u=(x1,y1,z1)in S, v=(x2,y2,z2)in S
Então
k1x1 + k2y1 + k3z1 = 0, k1x2 + k2y2 + k3z2 = 0
Para u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) temos
k1(x1+x2) + k2(y1+y2) + k3(z1+z2) = (k1x1+k2y1+k3z1) + (k1x2+k2y2+k3z2) = 0+0 = 0,
Logo u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e u=(x1,y1,z1)in S. Então
k1x1 + k2y1 + k3z1 = 0
Para alpha u = (alpha x1,alpha y1,alpha z1) segue
k1(alpha x1) + k2(alpha y1) + k3(alpha z1) = alpha,(k1x1 + k2y1 + k3z1) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha uin S.

Resposta

S satisfaz as três propriedades de subespaço e, portanto, é subespaço de R^3.

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