Questão: (10 pts.) Considere os sistemas em função do parâmetro :
(a) Encontre todos os valores para o parâmetro a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Resolva o sistema correspondente ao valor a=3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um sistema de equações que depende de um parâmetro a. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de a o sistema não tem solução, tem solução única ou tem infinitas soluções. Depois, vamos resolver o sistema especificamente quando a = 3. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + y + a z = 0 y + (a^2 - 7) z = a^2 - 3a - 1 2x + y = 1
Passo 3
Para analisar as soluções do sistema, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & a 0 & 1 & a^2 - 7 2 & 1 & 0
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
Então, quando a = 1 + 2raiz2 ou a = 1 - 2raiz2, o determinante é zero.
Passo 6
Para esses valores de a que tornam o determinante zero, vamos verificar a consistência do sistema.
Substituindo a = 1 + 2raiz2 e a = 1 - 2raiz2 no sistema, percebemos que as equações se tornam dependentes, ou seja, uma equação é múltiplo da outra. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções nesses casos.
Quando a neq 1 pm 2raiz2, o determinante é diferente de zero, então o sistema tem solução única.
Não há valores de a que tornem o sistema inconsistente, ou seja, sem solução.
Resposta
(a) O sistema tem solução única para todos os valores de a diferentes de 1 + 2raiz2 e 1 - 2raiz2. Quando a = 1 + 2raiz2 ou a = 1 - 2raiz2, o sistema possui infinitas soluções. Não há valores de a para os quais o sistema não tem solução.