Questão: (10 pts.) Considere os sistemas em função do parâmetro a :
ccc x+y+c z & = & 0 y+(a^2-7) z & = & a^2-3 a-1 2 x+y & & 1
(a) Encontre todos os valores para o parâmetro a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Resolva o sistema correspondente ao valor a=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um sistema de equações que depende de um parâmetro a. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de a o sistema não tem solução, tem solução única ou tem infinitas soluções. Depois, vamos resolver o sistema especificamente quando a = 3. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + y + a z = 0 y + (a^2 - 7) z = a^2 - 3a - 1 2x + y = 1

Passo 3

Para analisar as soluções do sistema, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & a 0 & 1 & a^2 - 7 2 & 1 & 0

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - (a^2 - 7) cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 0 - (a^2 - 7) cdot 2) + a cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2)
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (-a^2 + 7) - 1 cdot (-2a^2 + 14) + a cdot (-2)
det(A) = -a^2 + 7 + 2a^2 - 14 - 2a
det(A) = a^2 - 2a -7

Passo 5

Agora, para determinar quando o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, analisamos o determinante:
  • Se det(A) neq 0: O sistema tem solução única.
  • Se det(A) = 0: Pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da consistência das equações.
Vamos encontrar os valores de a que anulam o determinante:
a^2 - 2a -7 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
a = 2 pm raiz4 + 282 = 2 pm raiz322 = 2 pm 4raiz22 = 1 pm 2raiz2
Então, quando a = 1 + 2raiz2 ou a = 1 - 2raiz2, o determinante é zero.

Passo 6

Para esses valores de a que tornam o determinante zero, vamos verificar a consistência do sistema.
Substituindo a = 1 + 2raiz2 e a = 1 - 2raiz2 no sistema, percebemos que as equações se tornam dependentes, ou seja, uma equação é múltiplo da outra. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções nesses casos.
Quando a neq 1 pm 2raiz2, o determinante é diferente de zero, então o sistema tem solução única.
Não há valores de a que tornem o sistema inconsistente, ou seja, sem solução.

Resposta

(a) O sistema tem solução única para todos os valores de a diferentes de 1 + 2raiz2 e 1 - 2raiz2. Quando a = 1 + 2raiz2 ou a = 1 - 2raiz2, o sistema possui infinitas soluções. Não há valores de a para os quais o sistema não tem solução.

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