Questão: (10 pts.) Seja
A=[ccc 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 2 & -2 & -1 ]
(a) Caso possível, encontre a inversa da matriz A.
(b) Resolva o sistema A X=[l1 1 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte (a) pede para encontrar a inversa da matriz A , se possível. A segunda parte (b) quer que a gente resolva um sistema linear usando a matriz A . Para isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como resolver sistemas lineares. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a inversa da matriz A
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Para isso, vamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
A matriz A é:
A = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 2 & -2 & -1

Passo 3

Calculando o determinante de A :
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui.
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31))
Substituindo os valores de A :
det(A) = 0 times (1 times (-1) - 1 times (-2)) - 1 times (1 times (-1) - 1 times 2) + 1 times (1 times (-2) - 1 times 2)
= 0 times (-1 + 2) - 1 times (-1 - 2) + 1 times (-2 - 2)
= 0 - 1 times (-3) + 1 times (-4)
= 0 + 3 - 4 = -1
Como o determinante é -1 (diferente de zero), a matriz A tem inversa.

Passo 4

Calculando a inversa de A :
A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 A é:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Onde Adj(A) é a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Vamos calcular a matriz dos cofatores de A .

Passo 5

Calculando a matriz dos cofatores:
Cada elemento Cij da matriz dos cofatores é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar ao elemento aij .
Vamos calcular cada cofator:
  1. C11 :
C11 = (-1)^1+1 cdot 1 & 1 -2 & -1 = 1 cdot (1 times (-1) - 1 times (-2)) = 1 cdot (-1 + 2) = 1
  1. C12 :
C12 = (-1)^1+2 cdot 1 & 1 2 & -1 = -1 cdot (1 times (-1) - 1 times 2) = -1 cdot (-1 -2) = 3
  1. C13 :
C13 = (-1)^1+3 cdot 1 & 1 2 & -2 = 1 cdot (1 times (-2) - 1 times 2) = 1 cdot (-2 -2) = -4
  1. C21 :
C21 = (-1)^2+1 cdot 1 & 1 -2 & -1 = -1 cdot (1 times (-1) - 1 times (-2)) = -1 cdot (-1 +2) = -1
  1. C22 :
C22 = (-1)^2+2 cdot 0 & 1 2 & -1 = 1 cdot (0 times (-1) - 1 times 2) = 1 cdot (0 -2) = -2
  1. C23 :
C23 = (-1)^2+3 cdot 0 & 1 2 & -2 = -1 cdot (0 times (-2) - 1 times 2) = -1 cdot (0 -2) = 2
  1. C31 :
C31 = (-1)^3+1 cdot 1 & 1 1 & 1 = 1 cdot (1 times 1 - 1 times 1) = 1 cdot (1 -1) = 0
  1. C32 :
C32 = (-1)^3+2 cdot 0 & 1 1 & 1 = -1 cdot (0 times 1 - 1 times 1) = -1 cdot (0 -1) = 1
  1. C33 :
C33 = (-1)^3+3 cdot 0 & 1 1 & 1 = 1 cdot (0 times 1 - 1 times 1) = 1 cdot (0 -1) = -1
Agora, a matriz dos cofatores é:
Cof(A) = 1 & 3 & -4 -1 & -2 & 2 0 & 1 & -1

Passo 6

Calculando a adjunta de A e, em seguida, a inversa:
A adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores:
Adj(A) = Cof(A)^T = 1 & -1 & 0 3 & -2 & 1 -4 & 2 & -1
Agora, usando a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-1 cdot 1 & -1 & 0 3 & -2 & 1 -4 & 2 & -1 = -1 & 1 & 0 -3 & 2 & -1 4 & -2 & 1

Passo 7

Resposta da parte (a):
A inversa da matriz A é:
A^-1 = -1 & 1 & 0 -3 & 2 & -1 4 & -2 & 1

Passo 8

Parte (b): Resolver o sistema A X = 1 1 1
Como já encontramos a inversa de A , podemos usar ela para resolver o sistema. A solução é dada por:
X = A^-1 cdot 1 1 1

Passo 9

Multiplicando A^-1 pelo vetor 1 1 1 :
X = -1 & 1 & 0 -3 & 2 & -1 4 & -2 & 1 cdot 1 1 1 = (-1)(1) + 1(1) + 0(1) -3(1) + 2(1) + (-1)(1) 4(1) + (-2)(1) + 1(1)
= -1 +1 +0 -3 +2 -1 4 -2 +1 = 0 -2 3

Resposta

(a) A inversa da matriz A é
A^-1 = -1 & 1 & 0 -3 & 2 & -1 4 & -2 & 1
(b) A solução do sistema A X = 1 1 1 é
X = 0 -2 3

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