Determinar o número complexo z tal que
5 z+z=12+16 i.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número complexo z que satisfaz a equação
5z + z = 12 + 16i.
Informações dadas:
  • Temos uma única equação envolvendo o número complexo desconhecido z.
  • O termo do lado direito é o complexo 12 + 16i.
  • Não há outras condições; portanto basta resolver a igualdade para z.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um número complexo de forma direta e prática: um número complexo z pode ser escrito como
z = a + bi,
onde a é a parte real e b é a parte imaginária (ambos números reais), e i é a unidade imaginária com a propriedade i^2 = -1.
Também usamos regras básicas de álgebra: somar termos semelhantes e multiplicar um número complexo por um real é feito distribuindo sobre as partes real e imaginária.

Passo 3

Simplificamos o lado esquerdo da equação combinando 5z + z. Como ambos são múltiplos de z, somam-se os coeficientes:
5z + z = (5+1)z = 6z.
Portanto a equação fica
6z = 12 + 16i.

Passo 4

Agora isolamos z dividindo ambos os lados da equação por 6. Dividir um número complexo por um número real é feito dividindo-se separadamente as partes real e imaginária:
z = \frac{12 + 16i}{6}.
Separamos a fração:
z = \frac{12}{6} + \frac{16}{6}i.

Passo 5

Simplificamos as frações:
\frac{12}{6} = 2,\qquad \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.
Logo
z = 2 + \frac{8}{3}i.

Resposta

z=2+\dfrac{8}{3}i

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