Determine o número complexo z tal que
2 z+3 \bar{z}=4-i

Passo 1

Enunciado: determinar o número complexo z tal que
2z + 3\bar{z} = 4 - i.
Informações dadas:
  • A incógnita é o número complexo z.
  • \bar{z} é o conjugado de z.
  • O lado direito é o número complexo 4 - i.
    O que o problema pede: encontrar z que satisfaça a igualdade acima.

Passo 2

Vamos representar z em coordenadas reais. Qualquer número complexo pode ser escrito como
z = x + i y,
onde x e y são números reais (respectivamente parte real e parte imaginária de z). O conjugado de z é obtido trocando o sinal da parte imaginária, isto é,
\bar{z} = x - i y.
Explicação didática curta: escrever z como x+iy transforma a equação em um sistema de equações reais para x e y. Igualdades entre complexos equivalem a igualdades entre suas partes real e imaginária.

Passo 3

Substituímos z = x + i y e \bar{z} = x - i y na equação dada:
2(x + i y) + 3(x - i y) = 4 - i.

Passo 4

Agora desenvolvemos e agrupamos as partes real e imaginária. Primeiro expandimos os produtos:
2(x + i y) = 2x + 2 i y,
3(x - i y) = 3x - 3 i y.
Somando:
2x + 2 i y + 3x - 3 i y = (2x+3x) + i(2y-3y).
Portanto a soma é
5x + i(-y).

Passo 5

Igualando ao lado direito (4 - i), temos a igualdade entre complexos
5x + i(-y) = 4 - i.
Como duas expressões complexas são iguais quando suas partes reais e imaginárias são iguais, obtemos o sistema real
5x = 4
e
- y = -1.

Passo 6

Resolvemos o sistema para x e y. Da primeira equação:
x = \frac{4}{5}.
Da segunda equação:
y = 1.

Passo 7

Verificação rápida (substituindo x e y nas partes agrupadas): com x=\frac{4}{5} e y=1 a expressão 5x + i(-y) fica
5\cdot\frac{4}{5} + i(-1) = 4 - i,
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto os valores encontrados estão corretos.

Resposta

z=\dfrac{4}{5}+i

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