Determine o número complexo
tal que
Passo 1
Enunciado: determinar o número complexo
tal que
Informações dadas:
- A incógnita é o número complexo
. -
é o conjugado de . - O lado direito é o número complexo
.
O que o problema pede: encontrarque satisfaça a igualdade acima.
Passo 2
Vamos representar
em coordenadas reais. Qualquer número complexo pode ser escrito como
onde
e
são números reais (respectivamente parte real e parte imaginária de
). O conjugado de
é obtido trocando o sinal da parte imaginária, isto é,
Explicação didática curta: escrever
como
transforma a equação em um sistema de equações reais para
e
. Igualdades entre complexos equivalem a igualdades entre suas partes real e imaginária.
Passo 3
Substituímos
e
na equação dada:
Passo 4
Agora desenvolvemos e agrupamos as partes real e imaginária. Primeiro expandimos os produtos:
Somando:
Portanto a soma é
Passo 5
Igualando ao lado direito
, temos a igualdade entre complexos
Como duas expressões complexas são iguais quando suas partes reais e imaginárias são iguais, obtemos o sistema real
e
Passo 6
Resolvemos o sistema para
e
. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 7
Verificação rápida (substituindo
e
nas partes agrupadas): com
e
a expressão
fica
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto os valores encontrados estão corretos.