(IME-74/75) São dados dois números complexos Z_{1} e Z_{2}. As partes real e imaginária de um complexo são dadas por \operatorname{Re}(z) e \operatorname{Im}(z). Determine z_{1} e z_{2}, sabendo que \left\{\begin{array}{l}z_{1}+z_{2}=5 \\\\ 4 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+15\left[\operatorname{Re}\left(z_{2}\right)\right]=0 \\\ \operatorname{Re}\left(z_{2}\right)=4\left[\operatorname{Re}\left(z_{1}\right)\right]\end{array}\right.. R:

Passo 1

O enunciado fornece três equações envolvendo dois números complexos z_{1}\) e \(z_{2}\). Precisamos determinar \(z_{1}\) e \(z_{2}\). As informações dadas são: \[\begin{cases} z_{1}+z_{2}=5,\\[4pt] 4z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+15\left[\operatorname{Re}(z_{2})\right]=0,\\[4pt] \operatorname{Re}(z_{2})=4\left[\operatorname{Re}(z_{1})\right]. \end{cases}
Aqui estão as coisas relevantes que o enunciado nos dá explicitamente:
  • A soma z_{1}+z_{2}\] é o número real \(5.
  • A segunda equação é uma identidade complexa (igual a zero no plano complexo).
  • A terceira equação relaciona as partes reais de z_{1} e z_{2}.
Não faço nenhum desenvolvimento neste passo — só identifiquei as equações e o que elas significam.]

Passo 2

Vamos escrever os números complexos em termos de suas partes real e imaginária para trabalhar de forma clara e passo a passo. Defina
z_{1}=x+iy,\qquad z_{2}=u+iv,
onde x=\operatorname{Re}(z_{1}), y=\operatorname{Im}(z_{1}), u=\operatorname{Re}(z_{2}) e v=\operatorname{Im}(z_{2}). Esta é uma representação padrão: qualquer complexo é sua parte real mais i vezes sua parte imaginária.
Agora vou traduzir cada condição do enunciado em equações em x,y,u,v.

Passo 3

Da soma z_{1}+z_{2}=5 (um número real) obtemos, ao igualar partes reais e imaginárias:
(x+u)+i(y+v)=5+0i.
Igualando partes reais e imaginárias separadamente dá
x+u=5\qquad\text{e}\qquad y+v=0.
A ideia utilizada: dois complexos são iguais se e somente se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais.

Passo 4

Da condição \operatorname{Re}(z_{2})=4\left[\operatorname{Re}(z_{1})\right] temos, em notação das variáveis,
u=4x.
Agora substituímos u=4x na equação x+u=5 do passo anterior:
x+4x=5 \implies 5x=5 \implies x=1.
Então
u=4x=4\cdot 1=4.
Também da equação y+v=0 temos imediatamente
v=-y.
Até aqui encontramos as partes reais e relacionamos as partes imaginárias: x=1, u=4, v=-y.

Passo 5

Agora vamos usar a segunda equação complexa
4z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+15\left[\operatorname{Re}(z_{2})\right]=0.
Explico a fórmula que vamos usar para elevar um complexo ao quadrado: para a+ib,
(a+ib)^{2}=a^{2}-b^{2}+2iab.
Isso vem de multiplicar (a+ib)(a+ib) e lembrar que i^{2}=-1. Vou aplicar essa fórmula a z_{1} e a z_{2}.

Passo 6

Calcule z_{1}^{2} com z_{1}=x+iy e x=1:
z_{1}^{2}=(1+iy)^{2}=1^{2}-y^{2}+2i(1)y=1-y^{2}+2iy.
Multiplicando por 4 obtemos
4z_{1}^{2}=4(1-y^{2})+8iy=4-4y^{2}+8iy.

Passo 7

Calcule z_{2}^{2} com z_{2}=u+iv e u=4,\;v=-y:
z_{2}^{2}=(4+i(-y))^{2}=4^{2}-(-y)^{2}+2i(4)(-y)=16-y^{2}-8iy.
Note que v^{2}=(-y)^{2}=y^{2} e 2iuv=2i(4)(-y)=-8iy.

Passo 8

Agora some 4z_{1}^{2} e z_{2}^{2} e adicione 15\operatorname{Re}(z_{2}). Como \operatorname{Re}(z_{2})=u=4, temos:
4z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+15\operatorname{Re}(z_{2})=(4-4y^{2}+8iy)+(16-y^{2}-8iy)+15\cdot 4.
Agrupando termos reais e imaginários:
  • Termos imaginários: 8iy-8iy=0. Excelente: as partes imaginárias se cancelam.
  • Termos reais: 4+16+15\cdot 4 vindos dos constantes menos 4y^{2}+y^{2}=5y^{2} vindos dos termos em y^{2}.
Calcule a constante:
4+16+15\cdot 4 = 20 + 60 = 80.
Portanto a soma é
80-5y^{2}+0\cdot i.

Passo 9

A segunda equação exige que essa soma seja 0. Como a parte imaginária já é zero, basta que a parte real seja zero:
80-5y^{2}=0.
Resolva para y^{2}:
5y^{2}=80 \implies y^{2}=16.
Portanto
y=\pm 4.

Passo 10

Agora recuperamos z_{1} e z_{2} para cada valor de y.
Se y=4, então
z_{1}=x+iy=1+4i,\qquad v=-y=-4,\qquad z_{2}=u+iv=4-4i.
Se y=-4, então
z_{1}=1-4i,\qquad v=-y=4,\qquad z_{2}=4+4i.
Essas duas opções são simétricas e satisfazem todas as equações (você pode conferir substituindo de volta nas três equações; já verificamos as relações que garantiram a solução).

Resposta

z_{1}=1+4i,\; z_{2}=4-4i
z_{1}=1-4i,\; z_{2}=4+4i

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