Determinar o operador linear T: R^2 R^2 cujos valores próprios são lambda1=3, lambda2=-2 e v1=x(1,2), v2=x(-1,0).

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T: R^2to R^2 cujos autovalores são lambda1=3, lambda2=-2 e autovetores associados v1=(1,2), v2=(-1,0). Para encontrar T, vamos usar a diagonalização montando matrizes P e D tais que
T = P,D,P^-1

Passo 2

Montamos a matriz de mudança de base P com colunas nos autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores:
P = 1 & -1 2 & 0, D = 3 & 0 0 & -2

Passo 3

Calculamos o determinante de P e em seguida a inversa:
det(P) = 1cdot0 -(-1)cdot2 = 2, P^-1 = 120 & 1 -2 & 1 = 0 & tfrac12 -1 & tfrac12

Passo 4

Agora computamos
P,D = 1 & -1 2 & 0 3 & 0 0 & -2 = 3 & 2 6 & 0,
e finalmente
T = (P,D),P^-1 = 3 & 2 6 & 0 0 & tfrac12 -1 & tfrac12 = -2 & tfrac52 [6pt]0 & 3 ]

Passo 5

Portanto, na base canônica, T atua em (x,y) como
T(x,y) = l(-2x + tfrac52y,;3yr)

Resposta

A matriz de T na base canônica é
-2 & tfrac52 [3pt] 0 & 3 ]

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