Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial
(1-y^{2})\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = 0.
As perguntas são: (a) determinar a ordem da equação; (b) dizer se a equação é linear ou não-linear. Informações dadas: a equação relaciona diferenciais \mathrm{d}x e \mathrm{d}y com as expressões 1-y^{2} e x.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivadas da variável dependente que aparece na equação. Aqui a variável dependente é y (consideramos y função de x). Para identificar a ordem, vamos escrever a equação em termos de \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Partimos de
(1-y^{2})\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y = 0.
Dividindo ambos os lados por \mathrm{d}x (assumindo \mathrm{d}x\neq 0, procedimento padrão para obter a derivada) obtemos
1-y^{2} + x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0.

Passo 3

Isolando \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} temos
x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -(1-y^{2})
e portanto
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{1-y^{2}}{x}.
Observe que aparece apenas a primeira derivada \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, e nenhuma derivada de ordem maior. Logo a ordem da equação é 1.

Passo 4

Agora vamos verificar linearidade. Definição prática para uma equação de primeira ordem: ela é linear se puder ser escrita na forma
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x apenas. “Linear” quer dizer que y (e suas derivadas) aparecem somente com potência 1 e sem produtos entre y e suas derivadas. Qualquer potência de y diferente de 1, produto y\cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, ou funções não-lineares em y tornam a equação não-linear.

Passo 5

Reescrevemos a expressão encontrada para ver se cabe na forma linear:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{x} + \frac{y^{2}}{x}.
Podemos reorganizar como
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \frac{y^{2}}{x} = -\frac{1}{x}.
Aqui aparece o termo \dfrac{y^{2}}{x}, que contém y elevado à potência 2. Esse termo viola a condição de linearidade (porque não é proporcional a y com potência 1). Portanto a equação não é linear.

Resposta

Ordem: 1
Não-linear

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