Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial
As perguntas são: (a) determinar a ordem da equação; (b) dizer se a equação é linear ou não-linear. Informações dadas: a equação relaciona diferenciais
e
com as expressões
e
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivadas da variável dependente que aparece na equação. Aqui a variável dependente é
(consideramos
função de
). Para identificar a ordem, vamos escrever a equação em termos de
. Partimos de
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
, procedimento padrão para obter a derivada) obtemos
Passo 3
Isolando
temos
e portanto
Observe que aparece apenas a primeira derivada
, e nenhuma derivada de ordem maior. Logo a ordem da equação é
.
Passo 4
Agora vamos verificar linearidade. Definição prática para uma equação de primeira ordem: ela é linear se puder ser escrita na forma
onde
e
são funções de
apenas. “Linear” quer dizer que
(e suas derivadas) aparecem somente com potência
e sem produtos entre
e suas derivadas. Qualquer potência de
diferente de
, produto
, ou funções não-lineares em
tornam a equação não-linear.
Passo 5
Reescrevemos a expressão encontrada para ver se cabe na forma linear:
Podemos reorganizar como
Aqui aparece o termo
, que contém
elevado à potência
. Esse termo viola a condição de linearidade (porque não é proporcional a
com potência
). Portanto a equação não é linear.
Resposta
Ordem:
Não-linear
Não-linear