Efetue a divisão de p(x) por q(x).
p(x)=x^{4}-2 x^{2}+13 e q(x)=x^{2}+x+1;

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a divisão do polinômio p(x) por q(x). Dados fornecidos:
p(x)=x^{4}-2x^{2}+13
q(x)=x^{2}+x+1
Queremos encontrar um polinômio quociente d(x) e um resto r(x) tais que p(x)=q(x)\cdot d(x)+r(x) e \deg(r)<\deg(q). A resolução começa agora com a divisão longa de polinômios.

Passo 2

Explicando a ideia antes de calcular: a divisão de polinômios é análoga à divisão de números. Em cada passo dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente. Em seguida multiplicamos o divisor por esse termo do quociente e subtraímos do dividendo parcial, repetindo até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor. A propriedade que usamos é o algoritmo da divisão: para polinômios p(x) e q(x) (com q\neq 0) existem únicos d(x) e r(x) tais que
p(x)=q(x)\cdot d(x)+r(x),\quad \deg(r)<\deg(q).
Aqui \deg(\cdot) indica o maior expoente com coeficiente não nulo.

Passo 3

Começamos a dividir pela parte de maior grau. O termo de maior grau de p(x) é x^{4} e de q(x) é x^{2}. Dividindo:
\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}.
Esse é o primeiro termo do quociente. Agora multiplicamos q(x) por x^{2} e subtraímos de p(x):
x^{2}\cdot q(x)=x^{2}(x^{2}+x+1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}.
Subtraindo desse polinômio de p(x) (vou escrever p(x) como x^{4}+0x^{3}-2x^{2}+0x+13 para alinhar os graus):
\big(x^{4}+0x^{3}-2x^{2}+0x+13\big)-\big(x^{4}+x^{3}+x^{2}\big)=-x^{3}-3x^{2}+0x+13.
Portanto o resto parcial após o primeiro passo é -x^{3}-3x^{2}+0x+13.

Passo 4

Agora dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau de q(x):
\frac{-x^{3}}{x^{2}}=-x.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por -x e subtraímos:
(-x)\cdot q(x)=-x(x^{2}+x+1)=-x^{3}-x^{2}-x.
Subtraindo do resto parcial:
\big(-x^{3}-3x^{2}+0x+13\big)-\big(-x^{3}-x^{2}-x\big) = -2x^{2}+x+13.
Agora o resto parcial é -2x^{2}+x+13.

Passo 5

Continuamos: dividimos o termo de maior grau do novo resto pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{-2x^{2}}{x^{2}}=-2.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos e subtraímos:
(-2)\cdot q(x)=-2(x^{2}+x+1)=-2x^{2}-2x-2.
Subtraindo:
\big(-2x^{2}+x+13\big)-\big(-2x^{2}-2x-2\big)=3x+15.
Agora o resto é 3x+15.

Passo 6

Verificamos a condição de parada: \deg(3x+15)=1 e \deg(q)=2, então \deg(r)<\deg(q) e a divisão terminou. O quociente acumulado nos passos foi
d(x)=x^{2}-x-2,
e o resto é
r(x)=3x+15.

Passo 7

Fazemos uma verificação rápida multiplicando q(x) pelo quociente e somando o resto, para confirmar que voltamos a p(x):
q(x)\cdot d(x)=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x-2).
Primeiro multiplicamos termo a termo:
(x^{2}+x+1)(x^{2}-x-2)=x^{2}(x^{2}-x-2)+x(x^{2}-x-2)+1\cdot(x^{2}-x-2).
Calculando cada parte:
x^{2}(x^{2}-x-2)=x^{4}-x^{3}-2x^{2},
x(x^{2}-x-2)=x^{3}-x^{2}-2x,
1\cdot(x^{2}-x-2)=x^{2}-x-2.
Somando as três parcelas:
x^{4}-x^{3}-2x^{2}+x^{3}-x^{2}-2x+x^{2}-x-2 = x^{4}-2x-2.
Agora adicionamos o resto r(x)=3x+15:
x^{4}-2x-2+(3x+15)=x^{4}+(-2x+3x)+(-2+15)=x^{4}+x+13.
Observe que aqui obtivemos x^{4}+x+13. Percebi que a soma deu um termo +x que não aparece em p(x). Voltemos ao somatório das parcelas com calma: ao somar as parcelas devemos cuidar dos coeficientes de x^{2}.
Reescrevendo a soma das parcelas organizando graus:
x^{4} +(-x^{3}+x^{3}) +(-2x^{2}-x^{2}+x^{2}) +(-2x -x) +(-2).
Isso é
x^{4} + 0x^{3} +(-2x^{2}-x^{2}+x^{2}) +(-3x) -2.
Agora -2x^{2}-x^{2}+x^{2}=-2x^{2}. E -2x -x = -3x. Então o produto é
x^{4}-2x^{2}-3x-2.
Somando o resto 3x+15 resulta
x^{4}-2x^{2}-3x-2 + 3x +15 = x^{4}-2x^{2}+13,
que é exatamente p(x). Assim a verificação confirma que o quociente e o resto estão corretos.

Resposta

Quociente: x^{2}-x-2
Resto: 3x+15

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