Efetue a divisão de
por
.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para efetuar a divisão do polinômio
por
. Dados fornecidos:
Queremos encontrar um polinômio quociente
e um resto
tais que
e
. A resolução começa agora com a divisão longa de polinômios.
Passo 2
Explicando a ideia antes de calcular: a divisão de polinômios é análoga à divisão de números. Em cada passo dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente. Em seguida multiplicamos o divisor por esse termo do quociente e subtraímos do dividendo parcial, repetindo até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor. A propriedade que usamos é o algoritmo da divisão: para polinômios
e
(com
) existem únicos
e
tais que
Aqui
indica o maior expoente com coeficiente não nulo.
Passo 3
Começamos a dividir pela parte de maior grau. O termo de maior grau de
é
e de
é
. Dividindo:
Esse é o primeiro termo do quociente. Agora multiplicamos
por
e subtraímos de
:
Subtraindo desse polinômio de
(vou escrever
como
para alinhar os graus):
Portanto o resto parcial após o primeiro passo é
.
Passo 4
Agora dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau de
:
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por
e subtraímos:
Subtraindo do resto parcial:
Agora o resto parcial é
.
Passo 5
Continuamos: dividimos o termo de maior grau do novo resto pelo termo de maior grau do divisor:
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos e subtraímos:
Subtraindo:
Agora o resto é
.
Passo 6
Verificamos a condição de parada:
e
, então
e a divisão terminou. O quociente acumulado nos passos foi
e o resto é
Passo 7
Fazemos uma verificação rápida multiplicando
pelo quociente e somando o resto, para confirmar que voltamos a
:
Primeiro multiplicamos termo a termo:
Calculando cada parte:
Somando as três parcelas:
Agora adicionamos o resto
:
Observe que aqui obtivemos
. Percebi que a soma deu um termo
que não aparece em
. Voltemos ao somatório das parcelas com calma: ao somar as parcelas devemos cuidar dos coeficientes de
.
Reescrevendo a soma das parcelas organizando graus:
Reescrevendo a soma das parcelas organizando graus:
Isso é
Agora
. E
. Então o produto é
Somando o resto
resulta
que é exatamente
. Assim a verificação confirma que o quociente e o resto estão corretos.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: